2021年考研数二线性代数

一选择题 (每小题5分)

二次型 $f(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2)^2 + (x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为

A) 2, 0. B) 1,1. C) 2,1. D) 1,2.
设三阶矩阵 $A=(α1,α2,α3)A=(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3)$ , $B=(β1,β2,β3)B=(\beta_1, \beta_2, \beta_3)$ , 若向量组 $α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 可以由 $β1,β2\beta_1, \beta_2$ 线性表出, 则

A) Ax=0的解均为Bx=0的解

B) $A^Tx=0$ 的解均为 $B^Tx=0$ 的解.

C) Bx=0的解均为Ax=0的解.

D) $B^Tx=0$ 的解均为 $A^Tx=0$ 的解.
已知矩阵 $A=(10−12−11−12−5)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 \\ 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}$ 若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q, 使PAQ为对焦矩阵, 则P, Q可以分别取

A) $(100010001)\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$ , $(101013001)\begin{pmatrix} 1 & 0&1\\ 0& 1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ . B) $(1002−10−321)\begin{pmatrix}1&0&0\\ 2& -1& 0\\ -3&2&1 \end{pmatrix}$ , $(100010001)\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

C) $(1002−10−321)\begin{pmatrix} 1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix}$ , $(101013001)\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1 \end{pmatrix}$ . D) $(100010131)\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\ 1&3&1\end{pmatrix}$ , $(12−30−12001)\begin{pmatrix} 1&2 &-3\\0&-1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

二填空题

多项式 $f(x)=∣xx12x1x2−121×12−11x∣f(x)=\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\1&x&2&-1\\2&1&x&1\\2&-1&1&x \end{vmatrix}$ 中 $x^3$ 项的系数为___________________________.(6分)

三解答题

设矩阵 $A=(2101201ab)A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b \end{pmatrix}$ 仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵, 求 $a, b$ 的值, 并求可逆矩阵P, 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.(12分)

解析: 本题主要考察考生对一般矩阵相似对角化的理论的掌握.所涉及知识点包括:

特征值和特征向量(基础知识)
一般矩阵相似对角化理论: 如果一个矩阵所有特征值互异, 则一定可以相似对角化; 当一个矩阵存在k重特征值时, 只要k重特征值对应k个线形无关的特征向量, 那么该矩阵依然可以相似对角化.

解答:

$∣2−λ1012−λ01ab−λ∣\begin{vmatrix} 2-\lambda&1&0\\ 1& 2-\lambda&0\\1&a&b-\lambda\end{vmatrix}$ = $(b−λ)(λ−1)(λ−3)(b-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3)$

因为矩阵A仅有两个不同的特征值, 所以当1为重特征值时, $λ1=λ2=1,λ3=3\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=3$ , 则b=1. 此时

$(A−E)=(1101101a1)→(1101a1000)(A-E)=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&a&1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&0\\1&a&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$ $→(1100a−11000)\rightarrow \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&a-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$

则r(A-E)=2, 这就意味着矩阵A的二重特征值为1时, 只能由一个线形无关的特征向量, 矩阵A不能相似于对角阵. 与已知矛盾.

那么可以选择 $λ1=1,λ2=λ3=3\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=3$ , 则b=3. 此时

$(A−3E)=(−1101−101a0)(A-3E)=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&-1&0\\1&a&0\end{pmatrix}$ $→(1−101a0000)\rightarrow \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 1&a&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ $→(1−100a+10000)\rightarrow \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&a+1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

则当 $r (A - 3 E) = 1$ 时, 二重特征值3就对应两个线形无关的特征向量, 此时 $a = - 1$ .

因此就可以得到: $a = - 1, b = 3$ . 此时矩阵 $A=(2101201−13)A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&-1&3\end{pmatrix}$

当 $λ1=1\lambda_1=1$ 时, 求得其对应的特征向量为 $ζ1=(−1,1,1)T\zeta_1=(-1, 1, 1)^T$

当 $λ2=λ3=3\lambda_2=\lambda_3=3$ 时, 求得其对应的线形无关的特征向量为 $ζ2=(1,1,0)T,ζ3=(0,0,1)T\zeta_2=(1,1,0)^T, \zeta_3=(0,0,1)^T$

令 $P=(ζ1,ζ2,ζ3)=(−110110101)P=(\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3)=\begin{pmatrix} -1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$ 则有 $P−1AP=(133)P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&&\\&3&\\&&3\end{pmatrix}$ 为对角阵.