第 2 章　三角学回顾

学习微积分必须要了解三角学. 说实话,我们一开始不会看到很多有关三角的内容, 但是当它们出现的时候,并不会让我们感觉很容易. 因此,我们不妨对三角学中最重要的方面进行一次全面的回顾.

• 用弧度度量的角与三角函数的基本知识;

• 实轴上的三角函数(不只是介于 0°和 90° 的角);

• 三角函数的图像;

• 三角恒等式.

现在到了刷新记忆的时候了……

2.1　基本知识

首先要提醒的是弧度的概念. 旋转一周, 我们说成2π 弧度 而不是 360°. 这似乎有点古怪, 但有一个原因,那就是半径为1个单位的圆的周长是2π个单位. 事实上,这个圆楔形弧长正好是楔角, 如图2-1所示.

图　2-1

这幅图很美观也很完善,其主旨就是让我们轻松面对用度和弧度表达的最常见的角. 首先,你应该能够绝对轻松地想到, 90°和π/2弧度是一样的.类似地, 180°和π弧度是一样的, 270°和3π/2弧度是一样的.一旦你的脑海里已经有了这种想法,那就请试着将图2-2中所有的角在度与弧度之间反复转换吧：

图　2-2

更一般地, 如果需要的话, 你也可以使用公式

用弧度度量的角 = ×用度度量的角.

　例如,要想知道5π/12弧度是多少度, 我们求解下式

×用度计量的角

就会发现5π/12弧度就是(180/π)×(5π/12)=75°. 事实上, 我们可以将弧度和度的转换一样. 转换因数就是π弧度等于180度.

到目前为止, 我们仅仅研究了角, 让我们继续来看看三角函数吧.显然, 我们必须要知道的是如何由三角形来定义三角函数. 假设,我们有一个直角三角形, 除直角外的其余一角被记为θ, 如图2-3.

图　2-3

那么, 基本公式为

当然, 如果我们移动角θ, 那么也必须移动其对边和邻边,如图2-4所示.

图　2-4

这没什么大惊小怪的, 对边就是对着角θ的边,而邻边则是挨着角θ的边. 尽管如此,斜边始终保持不变：它是最长的那条边, 并始终面对直角.

我们也会用到余割,正割和余切这些倒数函数, 其定义如下：

 及 

　如果你想要计划参加一次微积分的考试(或者即使你没有这种想法),我的一点建议就是：请熟记常用角0,π/6,π/4,π/3,π/2的三角函数值.例如, 如果不思考,你能化简sin(π/3)吗？tan(π/4)又会如何呢？如果你不能,那么, 充其量你是想用三角形来求解, 这只是在浪费时间. 最糟糕的是,你求解过程中总不化简答案, 这样就会丢失很多轻松得分点.解决的方法就是要熟记下表：

	0
sin	0				1
cos	1				0
tan	0		1		★

上表中的星号表示tan(π/2)无定义.事实上, 正切函数在π/2处有一条垂直渐近线(从图像上看会很清楚,我们将在接下来的2.3节中对此进行研究). 无论如何,你必须能够熟练地说出该表中的任意一项,不管从前往后说还是从后往前说！这意味着你必须能够回答两类问题.下面就是每种类型的例子：

1. sin(π/3)是什么？(使用该表, 答案是. )

2. 介于0和π/2间, 其正弦值为的角是什么？(显然,答案是π/3. )

当然, 你必须能够回答该表中的每一项所对应的这两类问题.就算我请求大家, 请背熟这张表吧！数学不是死记硬背,但有些内容是值得去记忆的, 而这张表一定列在了记忆的名单上. 因此,自己做些卡片, 让你的朋友来测验你, 一天花上一分钟的时间,无论这会对你起到怎样的作用, 请背熟这张表吧.

2.2　三角函数定义域的扩展

上表(你背熟了吗？)仅仅包括一些从0到π/2变化的角.事实上我们可以取任意角的正弦或者余弦，哪怕这个角是负的.对于正切函数, 我们一定要更小心些. 例如,上面我们看到的tan(π/2)是无定义的. 尽管如此,我们还是能够对几乎每一个负角取正切.

让我们首先来看看介于0和2π(记住,2π就是360°)间的角吧. 假设,你想要计算sin(θ)(或cos(θ)或tan(θ)), 其中, θ 是从0到π/2变化的角.为了看得更清楚, 我们先来画一个带有一点古怪标记的坐标平面,如图2-5所示.

图　2-5

请注意, 坐标轴将平面分成了四个象限, 标记为1到4(以罗马数字表示的),且标记的走向为逆时针方向. 这些象限分别被称为第一象限, 第二象限,第三象限和第四象限. 下一步是要画一条始于原点的射线(就是半直线).那么究竟是哪一条射线呢？这取决于角θ. 来想象一下,你自己站在原点上, 面向x轴的正半轴. 现在沿着逆时针方向转动θ角, 然后, 沿着一条直线向前走. 你的足迹就是你要找的那条射线了.

现在, 图2-2中的其他标记就很有意义了. 事实上,如果你转动了π/2角,你将面对本页并且你的足迹将勾勒出y轴的正半轴.如果你转动了π角, 你将得到x轴的负半轴.如果你转动了3π/2角, 你将得到y轴的负半轴. 最后,如果你转动了2π角, 那么你又会回到你起始的那个位置,即面向x轴的正半轴. 这就像你根本就没有转动一样！这就是为什么那张图中会有0≡2π. 对于角度而言, 0和2π是等价的.

好了, 让我们取某个角θ并以恰当的方式画出它吧.也许它就在第三象限的某个地方, 如图2-6所示.

图　2-6

请注意, 我们将这条射线标记为θ, 而不是这个角本身.不管怎样, 现在,我们在这条射线上选取某个点并从该点画一条垂线至x轴.}

我们对三个量感兴趣：该点的x坐标和y坐标(当然它们被称为x和y！),以及该点到原点的距离, 我们称为r. 注意,x和y可能会同时为负(事实上, 在图2-6中它们均为负). 然而,r总是正的, 因为它是距离. 事实上, 根据毕达哥拉斯定理(即勾股定理),不管x和y是正还是负, 我们总会有.(平方会消除任何负号, 如图2-7所示.)

图　2-7

拥有这三个量, 我们就可以定义如下的三个三角函数了：

 及 

　我们将量x, y和r分别解释为邻边, 对边和斜边,这些恰好就是2.1节中的基本公式了. 先别急,如果你在那条射线上选取了另外一个点, 那会是什么样子呢？这不要紧,因为你得到的新的三角形和原来的那个三角形是相似的,且上述比值不会受到任何影响. 事实上, 我们假设r=1总会很方便,这样得到的点(x, y)会落在所谓的单位圆(就是以原点为中心, 半径为1的圆)上.

现在,让我们来看一个例子. 假设, 我们想求sin(7π/6).那么7π/6会在第几象限呢？我们需要决定7π/6会出现在列表0,π/2, π, 3π/2, 2π的哪个地方. 事实上,7/6大于1但小于3/2, 故7π/6介于π和3π/2之间.事实上, 图2-8看起来很像上面的例子.

图　2-8

因此, 角7π/6在第三象限. 我们先是选取了该条射线上的一点,该点至原点的距离r=1, 然后从该点至x轴做了一条垂线.由上述公式我们可知, sin(θ)=y/r=y(因为r=1), 因此, 我们确实要求出y. 好吧, 那个小角,就是介于在7π/6处的射线和x轴的负半轴之间的角(其本身即为π)一定是这两个角的差,π/6. 这个小角被称为参考角. 一般来说,θ的参考角是介于表示角 θ的射线和x轴间的最小的角,它必须位于0与之间. 在我们的例子中,到x轴的最短路径是向上, 所以参考角如图2-9.

图　2-9

因此, 在那个小三角形中, 我们知道r=1, 以及角为π/6.我们得出y=sin(π/6)=1/2,不会再有其他的答案了！由于我们在x轴的下方, y一定为负值.也就是说, y=-1/2. 因为sin(θ)=y,我们就证明了sin(7π/6)=-1/2. 对于余弦来说,我们也可以重复这个过程,求出. 毕竟,由于点(x, y)在y轴的左侧, 因此x必须为负.这样我们就证明了 ,并且识别出点(x,y)即为点.

2.2.1　ASTC方法

上例中的关键是将sin(7π/6)和sin(π/6)联系起来,其中, π/6是7π/6的参考角. 事实上,并不难看出任意角的正弦就是其参考角正弦的正值或负值！这就使问题的关键缩小到两种可能性上,而且没有必要再混乱x, y或r了. 因此, 在我们的例子中,我们只需要求出7π/6的参考角, 即π/6;这就会立即告诉我们sin(7π/6)等于sin(π/6)或-sin(π/6), 并且我们只需要确保我们得到的是正确的结果.我们已经看到结果是负的, 因为y是负的.

事实上, 在第三或第四象限中任意角的正弦必定为负, 因为那里的y为负.类似地, 在第二或第三象限中任意角的余弦必定为负, 由于那里的x为负.正切是比值y/x, 它在第二和第四象限为负(由于x和y中的一个为负,但不全为负), 而在第一和第三象限为正.

让我们以文字和图像相结合的方式来总结一下这些研究成果吧. 首先,所有三个函数在第一象限(I)中均为正. 在第二象限(II)中,只有正弦为正;其他两个函数均为负. 在第三象限(III)中, 只有正切为正;其他两个函数均为负. 最后, 在第四象限(IV)中, 只有余弦为正;其他两个函数均为负. 如图2-10所示.

图　2-10

事实上, 你只需要记住图表中的字母ASTC就行了.它们会告诉你在那个象限中哪个函数为正. “A”代表“全部”, 意味着所有的函数在第一象限均为正.显然, 其余的字母分别代表正弦, 余切和余弦. 在我们的例子中,7π/6在第三象限, 所以只有正切函数在那里为正. 特别地,正弦函数为负,由于我们已经把sin(7π/6)的可能取值缩小到1/2或-1/2了,因此, 结果一定是负的.我们也确实得到了sin(7π/6)=-1/2.

ASTC图表唯一的问题就是它没有告诉我们如何处理角0, π/2, π或3π/2, 因为它们都位于坐标轴上. 这种情况下,最好是先忘记所有ASTC的内容,然后以恰当的方式画一个y=sin(x)(或cos(x),或tan(x))的图像, 并且从图像中读取数值.我们将在2.3节对此进行研究.

　同时,这里有一张ASTC方法的总结表,用来求介于0到2π的角的三角函数的值：

1. 画出象限图表, 确定在该图中你感兴趣的角在哪里,然后, 在图表中标出该角.

2. 如果你想要的角在x或y轴(即没有在任何象限中)上, 那么,就画出三角函数的图像, 从图像中读取数值(2.3节有一些例子).

3. 否则, 找出代表我们想要的那个角的射线和x轴间最小的角;这个角被称为参考角.

4. 如果可以, 使用那张重要的表来求出参考角的三角函数的值.那就是你需要的答案, 或许你还需要在得到的值前面添一个负号.

5. 使用ASTC图表来决定你是否需要添一个负号.

　让我们来看一些例子吧. 如何求cos(7π/4)和tan(9π/13)呢？我们一个一个地看.对于cos(7π/4),我们注意到7/4介于3/2和2之间, 故该角必在第四象限,如图2-11所示.

图　2-11

为了求出参考角,请注意我们必须向上走到2π(注意！不是到0. ), 因此,参考角就是2π和7π/4的差, 即(2π-7π/4),或简化为π/4. 所以,cos(7π/4)是正的或负的cos(π/4),根据我们的表cos(π/4)是.到底是正的还是负的呢？ASTC图表告诉我们, 在第四象限中余弦为正,故结果为正：.

　现在我们来看一下tan(9π/13).我们发现9/13介于1/2和1之间, 故角9π/13在第二象限,如图2-12所示.

图　2-12

这一次, 我们需要走到π以到达x轴,故参考角就是π和9π/13的差, 即π-9π/13,或简化为4π/13. 这样,我们知道tan(9π/13)是正的或负的tan(4π/13).哎呀, 可是数4π/13没有在我们的表里面,因此我们不能简化tan(4π/13). 可我们还是需要确定它是正的还是负的. 那好,ASTC图表显示, 在第二象限只有正弦为正, 故正切一定为负, 于是 tan(9π/13)=-tan(4π/13).这就是不使用近似我们可以得到的最简形式. 在求解微积分问题的时候,我不建议取近似值, 除非题目中有明确要求. 一个常见的误解是,当你计算如同tan(4π/13)这样的问题时,由计算器计算出来的数就是正确答案. 相反,那只是一个近似！所以你不应该写

因为它不正确. 取而代之,我们就写-tan(4π/13), 除非有特别的要求,让你做近似. 在那种情况下, 使用约等号和更少的小数位,并化整近似(除非有更多的要求)：

顺便说的是, 你应该少用计算器. 事实上,一些大学甚至不允许在考试中使用计算器！因此,你应该尽量避免使用计算器.

2.2.2　[0, 2π] 以外的三角函数

还有一个问题, 就是如何取大于2π或小于0的角的三角函数. 事实上,这并不太难, 简单地加上或减去2π的倍数,直到你得到的角在0和2π之间. 你看, 它并不只在2π就停止了.它就是一直在旋转. 例如, 如果我让你站在一点面向正东,然后逆时针方向旋转450度, 那么, 我说你旋转了一整周,然后又接着旋转了90度, 这样也合理. 现在你应该是面向正北. 当然,这要比你只是逆时针方向旋转了90度感觉更眩晕, 但是,你会面向同样的方向. 因此, 450度和90度是等价的角,当然这对于弧度来说也是一样的. 这种情况下,5π/2弧度和π/2弧度是等价的角.但为什么在旋转一周之后要停下来呢？9π/2弧度又如何呢？这和旋转2π两次(这样我们得到4π),然后再旋转π/2是一样的. 因此, 在我们得到最终的π/2之前,我们做了两周徒劳的旋转. 旋转没有关系,我们再次得到9π/2和π/2等价. 这个过程可以被无限地扩展下去,以得到等价于π/2的角的一个家族：

当然,这其中的每一个角都比第一个角多一个整周旋转或2π.当然这不是全部. 如果我坚持让你做所有的逆时针旋转, 你会感觉眩晕,或许你也会要求做一个或两个顺时针旋转来恢复神智.这就相当于一个负角. 特别地, 如果你面向东,我让你逆时针旋转-270度,对我这个怪异的要求的唯一一致的解释就是顺时针旋转270度(或3π/2).显然, 你最终仍然会面向正北, 因此, -270度和90度一定是等价的.确实如此, 我们将360度加到-270度上就会得到90度. 用弧度测量时,我们看到, -3π/2和π/2是等价角. 另外,我们可以坚持更多负的(顺时针方向)整周旋转. 最后,以下这就是等价于π/2的角的完全的集合：

　这个序列没有开始也没有结束; 当我说它是“完全的”时,我掩饰了一个事实, 就是在开始和结束的省略号上包含了无穷多个角.我们借助集合符号{π/2+2πn},其中n可以取所有整数, 这样就可以避免写这些省略号了.

　让我们来看一下我们是否可以应用它吧.如何求sec(15π/4)呢？首先,注意到如果我们能够求出cos(15π/4),我们所要做的就是取其倒数以得到sec(15π/4).因此, 让我们先来求cos(15π/4).由于15/4大于2, 让我们先来试着消去2. 这样, 15/4-2=7/4,现在它介于0和2之间, 这看上去很有希望了. 代入π,我们看到cos(15π/4)和cos(7π/4)是一样的,并且我们已经求出其结果为. 因此,. 取其倒数,我们发现就是.

图　2-13

最后,sin(-5π/6)又会如何呢？有很多方法来求解此问题,但上述建议的方法是将2π的倍数加到-5π/6上直到结果是介于0和2π间的.事实上, 2π加上-5π/6得7π/6, 因此,sin(-5π/6)=sin(7π/6),这就是我们已经看到的-1/2. 另外, 我们也可以直接画图2-13.

现在, 你必须找出上图中的参考角,我们并不太难看出它是π/6, 然后继续之前的过程.

2.3　三角函数的图像

记住正弦、余弦和正切函数的图像的样子确实非常有用. 这些函数都是周期的, 这意味着, 它们从左到右反复地重复自己. 例如,我们考虑y=sin(x).从0到2π的图像看上去如图2-14所示.

图　2-14

你应该能够不用想就画出这个图像, 包括0, π/2, π,3π/2和2π的位置.由于sin(x)每2π单位重复(我们说sin(x)是x的周期函数,其周期为2π), 通过重复样式, 我们可以对图像进行扩展, 得到图2-15.

图　2-15

　从图像中读值,我们看到sin(3π/2)=-1及sin(-π)=0.正如之前注意到的, 这就是你应该如何去应对π/2的倍数的问题;我们不需要混乱参考角了. 另一个值得注意的是,该图像关于原点有 180°点对称, 这意味着,sin(x)是x的奇函数.(我们在1.4节中分析了奇偶函数.)

y=cos(x)的图像和y=sin(x)的图像类似.当x在从0到2π上变化时,它看起来就像图2-16.

图　2-16

现在,利用cos(x)是周期函数及其周期为2π这一事实,我们对该图像进行扩展, 得到图2-17.

图　2-17

例如, 如果你想要求cos(π), 从图像上读取,你会看到结果是-1. 此外, 注意到, 这次该图像关于y轴有镜面对称.这说明, cos(x)是x的偶函数.

现在, y=tan(x)略有不同.最好是先画出图像, 其中x介于-π/2和π/2之间, 如图2-18.

图　2-18

和正弦函数与余弦函数不同的是, 正切函数有垂直渐近线. 此外,它的周期是π, 而不是2π. 因此,上述图样可以被重复以便得到y=tan(x)的全部图像,如图2-19所示.

图　2-19

很明显, 当x是π/2的奇数倍数时,y=tan(x)有垂直渐近线(是无定义的). 此外,图像的对称性表明, tan(x)是x的奇函数.

y=sec(x),y=csc(x)及y=cot(x)的函数图像也值得我们去学习,如图2-20、图2-21、图2-22所示.

图　2-20

图　2-21

图　2-22

从它们的图像中, 我们可以得到所有六个基本三角函数的对称性的性质,这些都值得学习.

sin(x),tan(x),cot(x) 及 csc(x)都是x的奇函数. cos(x)和sec(x)都是x的偶函数.

因此, 对于所有的实数x,我们有sin(-x)=-sin(x),tan(-x)=-tan(x)及cos(-x)=cos(x).

2.4　三角恒等式

三角函数间的关系用来十分方便. 首先,注意到正切和余切可以由正弦和余弦来表示, 如下：

(有时,根据这些恒等式用正弦和余弦来代替正切和余切会有帮助, 但事实上,你不应该这样做, 除非你真的遇上麻烦了.)

所有三角恒等式中最重要的就是毕达哥拉斯定理了(用三角形式表示的),

这对于任意的x都成立.(为什么是毕达哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜边是1,其中一个角为x, 自己要弄明白三角形的其他两条边长就是cos(x)和sin(x).)

　现在,让这个等式两边同除以cos2(x).我想让你检验一下是否能够得到以下结果：

该公式也会经常出现在微积分里. 另外,可以将毕达哥拉斯定理等式两边同除以sin2(x),我们得到下列等式：

这个公式好像没有其他公式使用得那么频繁.

还有一些更多的三角函数关系. 你注意到了吗,一些函数的名字是以符号“co”开头的. 这是“互余”的简称.说两个角互余意味着它们的和是π/2(或90度).这不是说它们对对方很好. 撇开所有的双关语, 事实是,我们有以下一般关系：

三角函数(x)=互余三角函数.

特别地, 我们有：

 及

当三角函数已经互余的时候, 以上公式也适用;你只需要认识到, 余角的余角就是原始的角！例如, co-co-sin 事实上就是sin, co-co-tan 事实上就是tan.基本上这意味着我们也可以这样说：

 及

最后, 还有一组恒等式值得我们学习.这些恒等式涉及了角的和与倍角公式.特别地, 我们应该记住下列公式：

请记住,你可以切换所有的正号和负号得到一些相关的公式,这对我们也很有帮助：

对于上述加框公式中的sin(A + B)和cos(A + B), 令A = B = x,我们就会得到一个很好的结果. 很明显, 正弦公式是sin(2x) = 2sin(x)cos(x). 但是,让我们来好好看看余弦公式. 它会变成cos(2x) = cos2(x) – sin2(x); 这没错,但是更有用的是使用毕达哥拉斯定理sin2(x) + cos2(x) = 1 将cos(2x)表示成为2cos2(x) – 1或1 – 2sin2(x)(相信这些都是有效的！). 总之, 倍角公式为：

　那么,你如何用sin(x)和cos(x)来表示sin(4x)呢？好吧,我们可以将4x看作二倍的2x, 并且使用正弦恒等式, 写作sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x).然后, 应用恒等式来求, 得到：

类似地,

你不用记这后两个公式; 然而,你要确保理解了如何使用倍角公式来推导它们.

现在, 如果你可以掌握本章涉及的所有的三角学,你就能够很好地去学习本书的剩余部分了. 因此,抓紧时间消化这些知识吧. 做一些例题,并确保你记住了那张很重要的表格和所有加框公式.

from: http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/2310

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