p6,例1.1

问题简述:甲乙赌博技术相同,先赢3局者胜。甲二胜一负时终止赌局,如何分赌本?

1. 首先回顾下国外那本《概率论基础教程》关于分赌本问题的讲述。

   甲要赢得赌局,还需要赢M=1局;乙要赢得赌局,还需要赢N=2局。

   这样,两人最多还要赌M+N-1=2局。

  (最坏情况下,甲又赢了M-1局,乙又赢了N-1局,此时只要再赌一局即结束,所以最多还要赌(M-1)+(N-1)+1=M+N-1局。)

2. 书中的解法依赖于以下前提:

    即使甲或乙在赌满M+N-1局前已满足赢得赌局条件(例如甲赢了第四局),继续赌满至M+N-1局不影响赌本分配结果。

3. 如果不考虑上述前提,我们也可以有下述解法:

    第四局甲或乙赢的概率都是1/2;若甲赢则无需继续,若乙赢则需继续第五局。

    第四局乙赢的条件下(条件概率),第五局甲或乙赢的概率同样都是1/2。

    因此甲最终赢的概率为1/2 + 1/2 * 1/2 = 3/4

    乙最终赢的概率为1/2 * 1/2 = 1/4

4. 事实上,(2)的前提是一定满足的,因为如果某人在赌满M+N-1局前已经满足赢得赌局条件,那么即使继续赌满至M+N-1局,另一人也不会满足赢得赌局条件(因此也就不会对赢得赌局的概率产生影响)。

    比如甲提前赢了M局,由于只赌M+N-1局,另一人最多赢N-1局,达不到赢N局的条件。