近日，来自斯坦福、MIT、纽约大学和 Meta-FAIR 等机构的研究人员，通过新的研究重新定义了最大流形容量表示法（MMCR）的可能性。

多视图自监督学习（MVSSL，或称为联合嵌入自监督学习）是一种强大的无监督学习方法。它首先创建无监督数据的多个转换或视图，然后以类似监督的方式使用这些视图来学习有用的表示。

实现 MVSSL 的具体方法有很多，但大致可以分为四类：对比、聚类、蒸馏 / 动量、冗余减少。

在这众多的方法中，最大流形容量表示（Maximum Manifold Capacity Representation，MMCR）是与众不同的一类。

MMCR 不明确使用对比，不执行聚类，不利用蒸馏，也不明确减少冗余，但效果却可以媲美甚至超越其他领先的 MVSSL 方法。

而来自斯坦福、MIT、纽约大学和 Meta-FAIR 等机构的研究人员，正在通过新的研究重新定义这个框架的可能性。

作为论文作者之一，LeCun 也发推表达了自己的观点：

除非使用预防机制，否则使用 SSL 训练联合嵌入架构会导致崩溃：系统学习到的表示信息不够丰富，甚至是恒定不变的。

人们设计了多种方法来防止这种崩溃。

一类方法是样本对比：确保不同的输入产生不同的表示。

另一类是维度对比：确保表示的不同变量对输入的不同方面进行编码。

两种类型的方法都可以从信息最大化参数中派生出来：确保表示形式尽可能多的编码有关输入的信息。

方差-协方差正则化、MMCR 和 MCR2（来自伯克利大学马毅团队）都是 infomax 维度对比方法。

信息最大化维度对比方法的核心思想，是推动编码器学习输入的表示，使其尽可能充分地利用表示空间，就像在有限的画布上尽可能展现丰富的细节。

为了更好地理解 MMCR，研究人员利用高维概率工具证明了，MMCR 可以激励学习嵌入的对齐和均匀性。

同时，这种嵌入最大化了视图之间的互信息的下界，从而将 MMCR 的几何视角与 MVSSL 中的信息论视角联系起来。

为了更好地利用 MMCR，研究人员对预训练损失的非单调变化进行数学预测和实验确认，发现了类似于双下降的行为。

此外，研究人员还发现了计算上的 scaling law，可以将预训练损失预测为梯度步长、批量大小、嵌入维度和视图数量的函数。

最终，作者证明了这个最初应用于图像数据的 MMCR 方法，在多模态图像文本数据上同样表现优异。

MMCR

MMCR 由纽约大学数据科学中心（NYU Center for Data Science，CDS）的研究人员于 2023 年提出。

该方法源于神经科学中的有效编码假说：生物感觉系统通过使感觉表征适应输入信号的统计数据来优化，例如减少冗余或维度。

最初的 MMCR 框架通过调整「流形容量」（衡量给定表示空间内可以线性分离的对象类别数量的指标）将这一想法从神经科学扩展到了人工神经网络。

许多 MVSSL 方法要么明确源自信息论，要么可以从信息论的角度来理解，但 MMCR 不同。

MMCR 指出估计高维互信息已被证明是困难的，且逼近互信息可能不会改善表示。MMCR 的基础在于数据流形线性可分性的统计力学表征。

不过 LeCun 等人的这篇工作，将 MMCR 的几何基础与信息论原理联系起来，探索了 MMCR 的更深层次机制，并将其应用扩展到了多模态数据，例如图像文本对。

理论基础

MMCR 源自有关线性二元分类器性能的经典结果。考虑 D 维度中的 P 点（数据），具有任意分配的二进制类标签；线性二元分类器能够成功对点进行分类的概率是多少？

统计力学计算表明，在热力学极限下，容量 α= 2 时会发生相变。MMCR 将此结果从点扩展到流形：

最小化 MMCR 损失意味着最大化平均矩阵的核范数。

直观上，完美重建意味着同一数据的所有视图都被网络映射到相同的嵌入，完美均匀性意味着嵌入均匀分布在超球面周围。

基于对 MMCR 嵌入分布的新认识，我们如何将 MMCR 的统计力学几何观点与信息论观点联系起来？

答案是，MMCR 激励表示的最大化，对应于同一数据的两个视图的两个嵌入共享的互信息的下限。

考虑某些输入数据两个不同视图的嵌入之间的互信息。两个视图之间的互信息必须至少与两项之和一样大：一个嵌入重建另一个的能力，再加上嵌入的熵：

MMCR 的双下降

通过高维概率分析可知，预测最大流形容量表示的预训练损失，也应该在其预训练损失中表现出非单调双下降样行为。

（双下降：测试损失作为数据总数和模型参数数量的函数表现出非单调变化）。

然而，本文的分析也表明，这种类似双下降的行为应该发生在非典型参数（流形的数量 P 和维数 D）上，而不是数据的数量和模型的参数量。

具体来说，理论预测最高的预训练误差应该恰好发生在阈值 P = D 处，预训练误差落在阈值的两侧。

为了比较不同超参数对的点数 P 和数据维度 D 之间的损失，这里使用 MMCR 预训练界限来定义预训练百分比误差：

研究人员在 STL-10 上预训练了 ResNet-18，STL-10 是一个与 CIFAR-10 类似的数据集，但分辨率更高 (96x96x3)，并且包含 100000 张图像的附加未标记分割。

扫描范围 P：{64, 128, 256, 512, 1024} × D：{64, 128, 256, 512, 1024} × K：{2, 4, 8}（K 为视图数），结果如上图所示。

Compute Scaling Laws

在许多 MVSSL 方法中，更改超参数通常会导致预训练损失不相称，从而使运行之间的比较变得困难。

然而，MMCR 预训练百分比误差产生的数量介于 0 和 1 之间，因此可以将不同超参数（P 和 D）时的训练情况放在一起比较。

执行这样的比较会产生有趣的经验现象：计算 MMCR 预训练百分比误差中的神经缩放定律。

通过绘制在 STL-10 上预训练的 ResNet-18 网络，我们可以清楚地看到预训练百分比误差的幂律缩放与所有点数 P 、嵌入维度 D 和视图数量 K 的计算量的关系。

一个关键细节是这些神经缩放曲线突出了类似双下降的行为：对角线子图（P = D 时）具有较高的预训练百分比误差和较小的预训练百分比斜率。

MMCR 与多模态

考虑 OpenAI 的对比语言图像预训练模型 CLIP 的设置，两个不同的网络在图像文本标题对上进行预训练，从两个不同的数据域 X 和 Y 获取数据。

X 和 Y 是配对的，使得 X 中的每个示例在 Y 中都有对应的正对，反之亦然。从 MMCR 角度来看，X 和 Y 可以理解为同一底层对象的两个视图。

因此，最优变换嵌入 f (X) 和 g (Y) 应映射到同一空间，并且我们可以利用对 MMCR 的改进理解来训练这些最优网络。

与常见的 MVSSL 不同，这里的 X 和 Y 在实践中可能代表极其不同的分布。

在上图的图像-文本对齐实验中，作者将多模态 MMCR 应用于 DataComp-Small，并将零样本 Imagenet 性能与标准 CLIP 目标进行比较。

可以发现，多模态 MMCR 在小批量（< 512）下表现优于 CLIP。

参考资料：

• https://x.com/ylecun/status/1834666512856031537