文章目录

• 不定积分
• • 不定积分的性质和概念
  • • 原函数存在定理
    • 不定积分的性质
    • 公式
  • 三种主要积分法
  • • 1. 第一类换元法（凑微分法）
    • 2. 第二类换元法
    • 3. 分部积分法
  • 三类常见可积函数积分
  • • 1. 有理函数积分$\int R(x)dx$
    • 2. 三角有理式积分 $\int R(\sin x,\cos x)dx$
    • 3. 简单无理函数积分 ∫R(x,ax+bcx+d)dx\int R(x, \sqrt{{ax +b \over cx+d}})dx∫R(x,cx+dax+b​​)dx
  • 注意点
  • 知识点

不定积分

不定积分的性质和概念

原函数：F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)

不定积分：$\int f(x)dx=F(x)+C$

原函数存在定理

定理1

若$f(x)$在区间$I$上连续，则$f(x)$在区间$I$上一定存在原函数。

定理2

若$f(x)$在区间$I$上有第一类间断点，则$f(x)$在区间$I$上没有原函数。有第二类间断点，可能

有原函数。

【注1】什么叫原函数，它所有点上有导数，导数要等于$f(x)$。

【注2】连续一定存在原函数，存在原函数不一定连续。

lim⁡x→0h(x)不存在⇒h(x)在x=0不连续\lim_{x \to 0}h(x)不存在 \Rightarrow h(x)在x=0不连续limx→0​h(x)不存在⇒h(x)在x=0不连续

不定积分的性质

$$\begin{gathered} \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx \\ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx \end{gathered}$$

公式

补充：

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

三种主要积分法

1. 第一类换元法（凑微分法）

若 ∫f(u)du=F(u)+C则 ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=F[φ(x)]+C\begin{array}{l} \text { 若 } \int f({u}) \mathrm{d} {u}={F}({u})+{C} \\[2ex] \text { 则 } \int f[\varphi({x})] \varphi^{\prime}({x}) \mathrm{d} {x}=\int f[\varphi({x})] \mathrm{d} \varphi({x})=F[\varphi({x})]+{C} \end{array} 若 ∫f(u)du=F(u)+C 则 ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=F[φ(x)]+C​

【注】常见凑微分法

2. 第二类换元法

设$x=\phi (t)$是单调的、可导的函数，并且$ \varphi’(t) \neq 0$，又

∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C则 ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C=F[φ−1(x)]+C\begin{array}{l} \int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=F(t)+C \\[2ex] \text { 则 } \int f(x) \mathrm{d} x=\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=F(t)+C=F\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C \end{array}∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C 则 ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C=F[φ−1(x)]+C​

a2−x2,x=asin⁡t(acos⁡t)\sqrt{a^2 – x^2}, x = a \sin t(a \cos t)a2−x2​,x=asint(acost)

a2+x2,x=atan⁡t\sqrt{a^2 + x^2}, x = a \tan ta2+x2​,x=atant

x2−a2,x=asec⁡t\sqrt{x^2 – a^2}, x = a \sec tx2−a2​,x=asect

3. 分部积分法

$\int udv=uv-\int vdu$

【注1】适用两类不同函数相乘

【注2】积不出的积分

∫ex2dx\int e^{x^2}dx∫ex2dx

∫sin⁡xxdx\int {\sin x \over x}dx∫xsinx​dx

∫cos⁡xxdx\int {\cos x \over x}dx∫xcosx​dx

积不出并不代表没有原函数，是它的原函数不是初等函数，无法用初等函数来表示。

三类常见可积函数积分

1. 有理函数积分$\int R(x)dx$

（1）一般方法（部分分式法）

（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）※

2. 三角有理式积分 $\int R(\sin x,\cos x)dx$

（1）一般方法（万能代换）

令tan⁡x2=t\tan {x \over 2}=ttan2x​=t

则sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2,dx=21+t2dt\sin x = {2t \over 1+t^2}, \cos x = {1-t^2 \over 1+t^2},dx={2 \over 1+t^2}dtsinx=1+t22t​,cosx=1+t21−t2​,dx=1+t22​dt
∫R(sin⁡x,cos⁡x)dx=∫R(2t1+t2,1−t21+t2)⋅21+t2dt\int R(\sin x , \cos x)dx= \int R({2t \over 1+t^2},{1-t^2 \over 1+t^2})·{2 \over 1+t^2} dt ∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t​,1+t21−t2​)⋅1+t22​dt

【注】万能代换的适用原则，当三角函数幂次是一次时用万能代换比较简单。

【注】$u=\cos x$的意思是：适合凑$d\cos x$。下同。

3. 简单无理函数积分 ∫R(x,ax+bcx+d)dx\int R(x, \sqrt{{ax +b \over cx+d}})dx∫R(x,cx+dax+b​​)dx

令ax+bcx+d=t\sqrt{{ax +b \over cx+d}}=tcx+dax+b​​=t

注意点

1. 遇到根式积分，直接将根式变量代换。

知识点

1. 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

   立方差公式：a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)