想象一个甜甜圈，一个环形的甜甜圈，如下图所示。

当数学家们说“甜甜圈”的时候，他们指的都是环形的甜甜圈——至少在他们讨论数学的时候是这样。当数学家们思考甜甜圈的时候，他们通常只是在讨论甜甜圈的表面，而不是实心的甜甜圈。类似地，当他们说“球”的时候通常指的只是球面，就像只考虑橙子的表皮而非整个橙子。一个球面就像一个气球，它的内部是空的。

甜甜圈也是如此。想象一下用魔法把一卷卫生纸转化为一个可随意拉伸的橡胶材质的圆筒，然后把它弯成一个圆圆的环。或者，想象一下把一个彩虹圈弯成一个圆，头尾相接，如下图所示。它看起来和一个环形甜甜圈很像，只不过它是中空的。

它的数学名称叫作“环面”（torus）。

现在让我们回顾一下我们是如何把一卷卫生纸变成一个环面的。或者，你也可以想象用泡泡制作一个类似的形状：用一个沾着足够多泡泡液的大的泡泡棒在空气中拖出一个大泡泡——不是用嘴吹，而是边走边拖泡泡棒，在绕了一个圈之后，这个泡泡环就能头尾相接了。它的样子看起来就像一个大型甜甜圈——一个空心的甜甜圈，一个空心的泡泡甜甜圈。

我们通过在空中以圆形轨迹拖泡泡棒得到了这个环面，这也说明环面是圆形的一种推广——我们所做的不过是改用泡泡棒而非画笔在空中画圆。现在，进一步对环面这个概念进行推广可能就会变得有些奇怪了。想象一下拖着一整个甜甜圈在空中画出圆的轨迹。你很难想象它的样子，因为它并不适合三维空间，但至少你大概可以想象得到它绝对不是一个两个洞的甜甜圈。

结合我们关于距离问题和甜甜圈的讨论，我们便来到了数学的一个名叫“拓扑学”的分支，它研究的是事物的形状。我们已经讨论过多种关于距离概念的推广方式，由此我们得到了很多类似距离，但又并不完全符合距离概念的所有规则的事物。

现在，我们可以更进一步推广这个概念了，因为有时候我们并不关心两个事物的距离究竟有多远，而只想知道我们能不能从一地去到另一地，以及怎么去。如果你住在英格兰南面的话，怀特岛也许离你比苏格兰更近，但事实上你并不能直接开车过去——这完全是另外一种麻烦。

同样的问题在城市街区也是存在的。比如在芝加哥这样的城市里，你可能突然就从一个街区来到了另一个街区，虽然实际上你只过了一条马路——整个路程很短，但你已经来到了一个不同的街区。

不关心距离也就意味着不关心尺寸，就像相似三角形一样，以下这些圆形也可被视为“ 相同”：

另外一个我们并不太关心的问题是曲率。所以下面这两个形状也可被视为“相同”：

我们现在只关心一个东西有多少个洞。所以在我们现在讨论的体系里，不仅所有的三角形是“相同”的，而且三角形和正方形、圆形也是“相同”的：他们都属于只有一个洞的形状。相比之下，数字8 则属于完全不同的另一种形状，因为它有两个洞。

思考这个问题的一种方法是想象所有东西都是用橡皮泥做的：想象一下你能否将一个形状捏成另一个形状，同时保证不制造出新的洞，也不需要将其他的形状粘在它上面。

问题：字母表里的哪些大写字母在这个形状可塑的情境下是“相同”的？

• 没有洞的字母：C E F G H I J K L M N S T U V W XY Z。

• 有一个洞的字母：A D O P Q R。

• 唯一一个有两个洞的字母：B。

这说明，从拓扑学的角度讲，大部分字母都是一样的。这也正是电脑很难识别手写字母的原因之一。

我们也可以尝试在更高的维度讨论这个问题。想象一下我们用一团橡皮泥做出一个甜甜圈。我们有两种制作方法：你可以先捏出一个香肠的形状，然后把它的头尾相连，也可以在揉成一团的橡皮泥中间戳一个洞。不管使用哪种方法，你的做法都证明了从拓扑学的角度来看，甜甜圈和一团橡皮泥是不同的。而当你做好了甜甜圈以后，你不必戳新的洞也不必粘上另一块橡皮泥就可以用它做出一个咖啡杯。甜甜圈的洞可以被视为咖啡杯把手与杯身之间的那个洞，你只需要把实心的部分捏出凹面做成杯肚的形状，咖啡杯就做成了。也就是说：从拓扑学的角度讲，甜甜圈和咖啡杯是一样的。

而与此相对， “两个洞的甜甜圈”则与一个洞的甜甜圈或者咖啡杯完全不同。关于事物在拓扑学上的异同这个问题有很多应用。比如，之前我们讨论过关于绳结的数学，而绳结是拓扑学研究的一类对象。在借助拓扑学研究绳结的过程中，一个很奇妙的思考方式就是，你并不是在空白的纸上用彩色画笔画画，而是先用彩色画笔涂满一整张纸，然后擦掉你想擦的部分，以此完成一张主体部分为白色而背景为彩色的画。现在，让我们想象一下在三维空间里进行这样的创作。

想象一下你拿着一支“可以在空中画画的彩色笔”，你将一个盒子的内部空间填满了颜色。然后，你又拿出一个“可以在空中使用的橡皮擦”，用它在你刚才填色的部分擦出一个绳结的形状。现在，整个空间剩下的彩色部分就是一个几乎无法想象，却很容易用数学方法进行研究的形状。

我们刚才描述的那种在三维空间里去掉某物的过程叫作取“补集”。一旦我们完成了这个过程，我们就可以像捏橡皮泥一样任意改变剩下那部分的形状，前提是不增加洞的数量或者粘上另一块橡皮泥。你能想象出下面这些形状的补集吗？

• 一个圆圈○在拓扑学上的补集与一个空心的、内部中央只撑了一根短棍的球面相同：

• 两个扣在一起的圆圈（如下图左边所示）的补集在拓扑学上与一个空心的、内部只有一个环面的球面（如下图右边所示）相同：

这还是一些很简单的形状，但是已经很难直观地想象出来了。数学的强大之处就在于它使得我们不需要真正将某个概念想象成实物就可以对问题进行严谨的研究。

另外一个例子是关于用纸剪下某个平面形状然后将它们粘成一个三维的图形。你也许还记得如何用一张纸折成一个正方体：

如果你将这个形状沿着外围轮廓剪下来，然后沿各条线折叠，你就可以把重合的边粘起来得到一个正方体。或者，你也可以试试将下面这个图形折成三维图形：

你会得到一个三角形的金字塔，它的数学名称叫作“四面体”。现在，请想象一下用可以任意塑形的橡皮泥片代替纸做同样的事情。这样一来，我们就可以用下图所示的正方形橡皮泥片制作甜甜圈（环面）了——我们要确保把标为A 的边都粘在一起，使箭头的方向保持一致，对于标为B 的边也进行一样的操作：

你完成了吗？接下来是真正的挑战。遵循刚刚的操作规则，即将字母相同的边粘起来且确保箭头方向一致，你能想象出用下面这个八边形橡皮泥片折成的立体图形会是什么形状吗？

答案是：有两个洞的甜甜圈。

试图凭大脑想象出最终的图形是很难的，但拓扑学给了我们一种可以严谨地研究这些关于比我们能够想象出的图形复杂得多的图形的问题的方法。

（本文整合自《数学思维》）

书名：《数学思维》

作者：【英】郑乐隽

出版社：中信出版集团

本书已被翻译为5国语言，一本每个人都可以读懂的数学趣味科普

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