1.质因子分解

首先明确概念：

质数==素数，质因子分解指将一个正整数n写成一个或多个质数的形式。例如，180=2*2*3*3*5

解决该问题的前提，我们要解决素数的求解，可见下面的博客。

https://blog.csdn.net/qq_40725780/article/details/104210701

考虑到每个质因子都可以不止出现一次，也就是我们不仅要知道质因子，还要知道它的个数，这两个都是它的属性，所以采用结构体保存，

struct factor{int x;int cnt;
}

具体算法：

首先我们利用筛选法得到素数表后，只要访问素数表，判断该素数p是否为n的因子；

1.如果是，那么保存该因子，同时让n继续整除p,记录该因子的次数，直到不能除尽为止；

2.如果不是，直接跳过即可。

for(int i=0;prime[i]<=n;i++){if(n%prime[i]==0){fac[num].x=prime[i];fac[nim].cnt=0;while(n%prime[i]==0){fac[num].cnt++;n/=prime[i];}num++;    //准备保存下一个因子}
}

可以看到，上面循环中，当n很大时，大概率超时；

考虑到对一个正整数n来说，它的质因子要么全部小于等于sqrt(n)，要么只存在一个大于sqrt(n)的数，算法改进。

for(int i=0;prime[i]<=sqrt(n);i++){if(n%prime[i]==0){fac[num].x=prime[i];fac[nim].cnt=0;while(n%prime[i]==0){fac[num].cnt++;n/=prime[i];}num++;    //准备保存下一个因子}if(n==1)    break;    //及时退出循环
}if(n!=1){    //如果无法被sqrt(n)以内的质因子除尽fac[num].x=n;    //那么一定有一个大于sqrt(n)的质因子fac[num].cnt=1;
}

拓展应用

考虑到有数学定理，合数都可写成几个素数的乘积；那么我们可根据求得的质因子获得正整数n的因子个数。假设各质因子pi的个数分别是e1,e2…ek;

于是根据组合因子出现的次数，n的因子个数就是(e1+1)*(e2+2)…..(ek+1);

于是可以得到n的因子数之和，（1+p1+p1^2+…p1^ei)*(1+p2+p2^2+…p2^e2)….;

2.求质因子个数

给定一个整数n，求n！中有多少质因子p；

最简单的想法就是去判断1-n中每个数有多少质因子p，然后结果累积。

int cal(int n ,int p){int ans=0;for(int i=2;i<=n;i++;){int temp=i;while(temp%p){ans++;temp/=p;}}return ans;
}

 很明显，当数据很大会超时；

我们可以找到规律；n!中有个质因子p，于是有一下算法O(log n)；

int cal(int n,int p)
{int ans=0;while(n){ans+=n/p;n/=p;    //相当于分母多乘一个p}return ans;
}    

同时根据情况：n!中质因子的个数实际上等于1-n中p的倍数加上中质因子p的个数，所以有递归写法,

int cal(int n,int p)
{if(n<p)    return 0;return n/p+cal(n/p,p)
}