主讲人：张文俊（深圳大学）

参考教材：《数学文化赏析》

目录

01 数学之魂

一、数学的对象与内容

二、数学的思想与方法

三、数学的特点与地位

02 数学之功

一、数学的功能

二、数学的价值

03 数学之旅

一、数学的分类

04 数学之理

二、数学故事中的数学思维

三、数学游戏中的数学思维

05 数学之辩

一、动中有静

二、变中有恒

三、乱中有序

四、异中有同

五、情中有理

六、理中有用

06 数学之美

一、美的根源与特征

二、数学方法之美

三、数学结论之美

07 数学之奇

一、实数系统

二、三种几何并存

三、河图洛书与幻方

08 数学之趣

一、数字之趣

二、数形之趣

三、逻辑之趣

三、数学、游戏与魔术

09 数学之妙

一、数学归纳法原理

二、反证法与抽屉原理

三、七桥问题与一笔画定理

四、数论与密码

10 数学之问

一、古代三大数学难题（19世纪使用代数方法证明全部不可能）

二、费马猜想（已解决）

三、哥德巴赫猜想（尚未解决，与素数相关）

四、四色猜想

五、庞加莱猜想(佩雷尔曼于2006年证明，目前七大难题中唯一解决的难题)

六、黎曼猜想：“素数不仅有无穷多个，而且这无穷多个素数以一种微妙而精确的模式出现。”（尚未解决，与素数相关）

参考文章（对以下文章的作者表示感谢）：

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01 数学之魂

一、数学的对象与内容

        恩格斯：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”

（1）对象：万物之本——数与形（科学数学两大柱石、万物共性和本质、一个事物的两个侧面，二者有密切联系）

        ①形的变化

        ②量的增减

（2）内容：万物之谜，万事之理——研究共性、本质、规律（数学是研究模式与秩序的科学）

        发现本质，揭示规律，建立联系，寻求共性

        ①不变性：动中有静，变中有恒，乱中有序，异中有同，情中有理，理中有用

        ②分类

                概念：事物分类→共性

                结论：定理、公式、法则

二、数学的思想与方法

1、数学建立的程序

（1）数学发展阶段

        ①创新过程阶段

        ②理论建立阶段

        ③应用阶段

2、数学建立的方法

（1）分类研究：按对象属性分类，逐一研究

        化难为易，化繁为简，化整为零，积零为整

（2）化归方法

（3）类比方法

（4）归纳方法

（5）抽象化

（6）符号化

（7）公理化

（8）最优化

（9）模型化

三、数学的特点与地位

1、起点：概念的抽象性

（1）抽象功能：找共性、抓本质

（2）数学抽象的特点：

        a、只关注数与形

        b、层层加深，逐级提高

        c、本身几乎完全周旋于抽象概念及其相互关系中

数学中概念或定义的形成主要是分类、抓本质、抓共性的结果

2、过程：推理的严密性

（1）合情推理：

        归纳（个体→群体；特殊→一般；创新性）

        类比（从一般到特殊、一个个体认识另一个个体）……

（2）演绎推理（收敛性思维）

        a、从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系

        b、能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地

        c、可以克服仪器、技术等手段的局限，弥补人类经验之不足

        d、使人类的认识范围从有限走向无限

        e、为人类提供了一种构建理论的有效形式

3、结论：结论的确定性

        演绎推理→逻辑上具有确定性、可靠性（不确保唯一性）

4、结果：应用的广泛性

5、数学的地位：基础性、普适性、可靠性

题目：

02 数学之功

一、数学的功能

1、实用功能：万物之本（普适可靠，普适源自对象，可靠源自方法）、生活助手（计算、测量）、科学之母、科学之仆

2、教育功能：知识、工具、能力（智力、理解能力、分析判断能力、敏锐、善于归纳、洞悉本质、理性数学思维）、文化

3、语言功能：符号、公式、法则、定理、方程……

        三大特点：简单化、清晰化、扩展化

4、文化功能

        （1）深化人类对世界的认识，推动人类物质、精神文明的发展

        （2）长期积累沉淀，升华人类的精神和品格

                ①是人类创造并且传承下来的知识、方法、思想

                ②深入到社会的每个角落

                ③影响着人类的思想，推动着科技发展和社会进步，与其他文化关系密切

数学文化内涵：知识性成分（数学知识）、观念性成分（数学观念系统）

二、数学的价值

1、教学与个人成长：科学素质（数学）、人文素质（文学）、艺术素质（形体感官）→真善美

（1）数学意识

（2）数学语言：符号化、模式化

（3）数学技能：方法、手段

（4）数学思维：

        抽象性（发现本质、共性）

        创造性（发散性思维）

        逻辑性（演绎推理，精细严谨）

        模式化（本质共性→建立模型）

2、数学与人类生活

（1）提高效率        例：20升水洗衣服

（2）解释疑问        例：四条腿（等长）的椅子一定能在不平整的地板上放稳

（3）理智判断

（4）科学决策

3、数学与科技发展

（1）数学是科学的语言（模型描述自然）

（2）数学是科学的圣母（思维孕育科学）→经典力学、相对论、奇性理论、生命科学、拓扑学、数量遗传学、流行病学……

（3）数学是科学的女仆（工具服务科学）→地质勘查、污染问题

4、数学与社会进步

（1）数学工具是促进物质文明的重要力量（例工业革命）

（2）数学理性是促进精神文明的重要因素（例如公理化思想）

（3）数学美学是促进艺术发展的文化激素

03 数学之旅

一、数学的分类

1、纵向——历史

（1）初等数学和古代数学（16世纪以前）：

        古希腊时期建立的欧氏几何学；

        古代中国、古印度、古巴比伦时期建立的算术；

        13-15世纪欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等

        特点：常量数学

（2）变量数学（17-19世纪初）

        ①17世纪，法国笛卡尔建立解析几何（起点）

        ②牛顿和莱布尼兹建立微积分（标志）

        特点：数形结合，从静态到可以研究运动，从逻辑到代数

（3）近代数学（19世纪）：第二次数学危机

        分析严密化：极限理论

        代数抽象化：解的存在性、个数、结构问题→阿贝尔：五次代数方程通用的求根公式是不存在的→伽罗瓦群论

        几何非欧化

（4）现代数学（20世纪）

        起点：1900年希尔伯特提出23个数学问题

        特点：分支增多，交叉增强

        基础：Cantor集合论

        特征：单变量到多变量、低维到高维；从线性到非线性；局部到整体，简单到复杂；连续到间断，稳定到分叉；精确到模糊；计算机的应用

        趋势：交错发展、高度综合、逐步走向统一；边缘、综合、交叉学科与日俱增；数学表现形式、对象和方法日益抽象化

2、横向——对象与方法

（1）对象与方法

        基础数学：代数、几何、分析

        应用数学：研究数学的应用、可以应用的数学

        计算数学：研究计算方法，涉及到近似计算与优化

        概率统计：研究随机科学

        运筹与控制论：管理

（2）自然现象：确定现象、随机现象、模糊现象、可拓现象

（3）数学功能角度：

        度量→几何（拓扑结构）

        计算→代数（代数结构）

        统计→统计

        比较→分析

二、数学分支发展概况

1、几何学通论：对空间本质的认识论

        研究对象：“几何物体”、图形的几何量，空间形式的抽象化

        研究内容：各种几何量的关系与相互位置

        研究方法：实验方法→思辨方法→解析方法→向量方法（向量几何：不依赖坐标系的解析几何）→微积分方法……

2、代数学大观

        初等代数学：研究实数、复数，中心问题→解的存在性、个数、结构问题

        高等代数学：

                线性代数：方程未知量增加，次数保持一致→矩阵、行列式、向量……

                多项式代数：未知量个数不多，次数很多→方程论

                        任何多项式方程在复数范围内都有解

3、微积分大意：

        研究对象：函数

        研究工具：极限

        研究内容：函数积分、函数微分、微积分基本定理（联系微分和积分的桥梁）

4、随机数学与模糊数学

        随机数学：概率论和数理统计

        模糊数学：模糊集合

三、数学形成与发展的因素

1、实用：第一动力，社会需要        几何、微积分、概率论

2、科学：自然现象合理结构        图论、拓扑学、复变函数

3、哲学：智力好奇心、纯思维强烈兴趣        数论、非欧几何、组合数学

4、美学：美的追求

具体→抽象→具体

猜想→证明

04 数学之理

一、数学思维及其价值

1、分类

（1）发散性思维（合情推理）：基于感性、感情、感觉→结论未必可靠

        归纳（个体认识群体；从特殊到一般、具有创新性）

        类比（一个个体认识另一个个体）

        关联、辐射、迁移、空间想象、联想等

（2）收敛性思维（演绎推理）：一般到特殊→必然性、正确性

三段论、有限穷举法、数学归纳法、反证法（间接证明法）等演绎推理可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系。

演绎推理能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地
演绎推理可以使人类的认识范围从有限走向无限

二、数学故事中的数学思维

1、数学关注什么

（1）柏拉图学园：“不懂几何者不得入内”→锻炼思维启迪智慧

（2）告诉他们在哪里：物理学家、工程师→完全正确、一点用没有的答案→追求真理

（3）两只羊的描述：1+1=2→抽象概括→抓本质、共性、规律

（4）三角形内角和：陈省身→N边形外角和360°→强调不变性、不变量

2、数学如何思考

（5）推翻费马大定理（1994年安德鲁威尔斯）：x^n + y^n = z^n

费马大定理：当指数n大于2时，不存在整数解。

→100个正例无法确认真理，一个反例就能推翻真理

（6）烧水的故事：化归思想

（7）地王大厦有多高：标杆投射法、镜面反射法→类比思想

（8）秃子世界：归纳演绎

（9）篱笆围面积：工程师、物理学家、数学家→逆向思维

（10）帽子的颜色：两顶黑帽、三顶白帽→假设排除、反证法

3、数学如何表达

（11）苏格兰的羊：精细严谨

（12）树上有几只鸟：真的死了、无声手枪、聋子→发散性与严谨性结合

三、数学游戏中的数学思维

1、躲三十：

（1）玩法1：双方轮流报数，每轮至少数一个数，最多数三个数，最终数到30的人为输

        →4的倍数加一

（2）玩法2：双方轮流报数，每轮至少数一个数，最多数两个数，最终数到30的人为输，先手如何保证取胜？

（3）玩法3：双方轮流报数，每轮至少数两个数，最多数四个数，最终数到40的人为输，先手是否有必胜诀窍？

2、取石子：若干堆石子，双方轮流取石子，每次只能取1-3颗石子，以取到最后一颗石子为胜

        →特殊化

（1）一堆：留下 4的倍数 颗（若30颗→先手取两颗石子）

（2）两堆：剩下一堆是4的倍数颗→被四除余数相同

（3）任意堆：化归

3、变形取石子：若干堆石子，双方轮流取石子，每次可以取任意颗，以取到最后一颗石子为胜

（1）一堆：一次取完

（2）两堆：保证两堆石子数相同

（3）三堆：

a、至少有两堆石子数量相同：先手将剩下的一堆不同数量的石子取完，留给对方两堆相同的石子。

b、三堆石子互不相同（m>n>k）：留给对方1、2、3个石子的局面即可锁定胜局

        →留给对方（1,2m，2m+1）为赢局。

4、取石子赢局特征

二进制→偶型残局一定是赢局（相加结果的各位数都是偶数，不做进位处理）

原因：

a、偶型残局取子后一定变为奇型残局；

b、任何奇型残局，一定有一种取法，使之取子后变为偶型残局。

05 数学之辩

一、动中有静

1、三角形的欧拉线：垂心、内心、外心

2、对称性：轴线、中心旋转

3、不动点定理

二、变中有恒

1、变化中的常数

2、变化中的关系：几何数列片段之和、斐波那契数列

3、变化中的恒等：恒等变换、同解变换、初等变换→一种形式化归为另一种形式

三、乱中有序

1、任何一组数字都在某种意义上具有某种特征（本质）

2、任何几组数字都在某种程度上具有某种联系（规律）

3、随机现象的统计规律

四、异中有同

五、情中有理

1、蜂窝建造：密铺、材料量、最大面积→正六边形

2、抽屉原理：生日（人数超过23人，同一天生日超过50%）、一个聚会当中，一定有两个人在场的朋友数量相同

六、理中有用

1、数学来源：现实需要、数学发展、人类好奇心

2、各种平均：算术平均→分配、几何平均→几何→天平称重、调和平均→音乐

3、欧拉定理→RSA编码→两个大素数相乘很容易，一个大整数分解很难

4、反证法

5、方圆之理，为人之道：80/20法则

6、全概率公式（贝叶斯公式）

06 数学之美

一、美的根源与特征

美是客观始应和满足于主观感受与体验的一种特征→审美客体、审美主体→自然属性、社会属性

1、美的感性特征（外在）：简洁性（复杂问题的简易解答）、和谐性（对称、有序、规律）、奇异性

2、美的理性特征（内在）：平均脸实验→具有社会性、共性

3、数学美的根源

（1）研究对象、内容：数学关注本质、共性、规律、联系，具有简洁、和谐之美

（2）研究方法、思考方式：数学反映自然、社会，重视变化、特例，具有奇异之美

4、如何欣赏数学美：用思维去感受，去思考

5、数学的简洁之美：关注本质、共性→证明方法、表达形式、理论体系结构简单性

（1）符号美：一句话→一个符号        例：阶乘、幂

（2）常数美：变中不变，动中有静

        五个重要常数：0        1        i        e        pi        （i-虚数单位）

        →欧拉公式：f-e+v=2（面数-棱数+顶点数=2）

（3）统一美：不同事物联系        例：高斯统一欧几里德几何、黎曼几何、罗巴切夫斯基几何

6、数学的和谐之美：整体与部分、部分与部分

（1）对称美：万事万物在变化中的不变性→匀称、平衡、相似、稳定

（2）序列美：万事万物在变化中的秩序性、关联性、规律性

（3）节奏美

7、数学的奇异之美

（1）有限美：有限认识表达无限

（2）神秘美：不可思议却正确无疑

（3）对比美：突变现象巨大反差

（4）滑稽美：数学思维产生反常与现实生活的滑稽现象

二、数学方法之美

1、认识论的飞跃：以有限认识无限

        数学归纳法：沟通无限与有限的桥梁，是确立与自然数相关的命题的一种推理术

                起点、传递关系

        反证法：证明否定结论的虚假性来确认肯定结论的真实性

                无限/复杂→有限/简单

2、演绎法之美：以简单论证复杂

        从一般到特殊的推理，先有一个普遍规律，然后从规律导出特定事例的性质

        三段论：大前提、小前提（一个特定对象的判断）、结论

        数学立于不败之地的保证

3、类比法之美

        n次多项式→韦达定理→欧拉 正弦函数根与泰勒系数的关系

4、数形结合之美

        勾股定理：出入相补图

        反正切公式

5、此处无形胜有形

        存在性问题证明：构造性证明（具体构造出所述对象）、纯理性证明（理论上推导出对象的存在性）

        抽屉原理、排中律（例：存在两个无理数a、b，使得a^b是有理数）

6、从低级数学到高级数学：解决低级数学不能解决的问题，理解更深刻

三、数学结论之美

1、三角形之美

（1）稳定性

（2）三角形的五心：重心（中线）、外心（中垂线）、内心（角平分线）、垂心（垂线）、旁心（一个角平分线和另外两个外角角平分线）

2、圆形之美：圆周率

（1）祖冲之密率（355/113）：准确、简单、易记（113355）、奇妙

（2）布龙科尔、莱布尼茨、牛顿、欧拉……

        可以通过所有自然数、所有奇数表达出来

3、矩形之美

（1）长宽比√2开本

（2）黄金分割数：0.618

4、斐波那契数列之美

（1）数字猜心术：a（n+1）=an*1.618

（2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…

        自然现象：海螺、向日葵螺旋线

        例：爬楼梯

        本质：遗传规律，其后代由前两代决定

（3）性质

        ①和：从第三项开始，每一项都是前两项之和

        ②差：an+2 – an+1 = an

        ③积：任何相邻两项之积等于该较小项及其各项平方和

                

         ④积：任何相隔两项之积等于其中间数的平方±1

                an-1*an+1=an^2+(-1)^n

        ⑤任何间隔奇数个项的两项之积等于其中间数的平方±1

        ⑥商：任何相邻前后两项之商趋于一个稳定的数值 0.618 → 任何相邻后前两项之商趋于一个稳定的数值 1.618

        ⑦余数规律：各项被某数除的余数是周期的，每有限项一循环（包括任何以递归的形式生成的数列）

        ⑧前n项和：a1+a2+……+an = an+2 – 1 = an+2 – a2

        ⑨任意相邻十项之和：十项后第二个减去十项内第二个数字

5、自然对数的底

（1）最大复利问题

        假定活期存款年利率为100%→        1元→2元

        半年将存款取出，再存进银行→        1元→1.5元→1.5+1.5*50%=2.25元

        按季度取出，再存入→        1.25^4≈2.44元

        →如果一年分n期利息，则每期利率为1/n，存款1元，年底本息和为（1+1/n）*n元

        →不断随n增大，逼近一个无限超越数→e≈2.72

（2）指数函数

（3）素数分布规律

（4）单位圆周上的复数：欧拉公式

（5）正态分布曲线

07 数学之奇

一、实数系统

1、数系扩充概述：“数”是数学的两大基石之一，各种数的产生和发展，都源自于实用需求或数学自身发展需求。

（1）自然数N：数量、规模、顺序

（2）整数Z

（3）分数（有理数Q）：分配

（4）负数：欠账

（5）无理数：无限不循环小数，承认在公元前4世纪（数学发展史里程碑）→观察、测量、实验、演算、经验不可靠，推理才可靠

（6）实数R：正数、负数、有理数、无理数→实际意义，没有缝隙的连续系统

（7）复数C：复数系是保持四则运算基本性质的最大数系

        出现：15世纪后期，1484年法国数学家舒开

        卡达诺：1545年→负数可以开方

        笛卡尔：1637年→虚数 想象中的数

        欧拉：1777年→引入i作为虚数单位

        高斯：1799年→复数几何表示

                   1831年→复数表示平面上的点（飞跃）→平面向量→计算

        →复数是平面的灵魂

（8）四元数：有序四元实数组可以组成一个数系，乘法不可交换→四元数域

（9）八元数（超复数）：乘法不可交换，也不能结合

（10）代数数：实数中，整系数代数多项式的根，其中有理数是整系数一次多项式的根（所有有理数都是代数数）

（11）超越数：实数中不是代数数的数，例如pi、e。（无理数有可能是代数数，也可能是超越数）

逆运算：自然数→负数→整数；整数→除法→分数→有理数；自然数→开方→无理数→实数；负数→开方→虚数

2、有理数集（最小的数域）：有限小数、无限循环小数

（1）代数：封闭，构成一个数域（开方运算、对极限运算不封闭）

        数域：四则运算封闭，加法乘法满足结合律和交换律、乘法对加法满足分配律

（2）几何：在数轴上稠密（依然有缝隙）

（3）集合：

        如果集合A、B的元素之间可以建立一一对应，则认为A、B元素一样多

        如果A和B的某子集的元素之间可以建立一一对应，则认为A的元素不多于B的元素

        ①多少：有理数集是可数集

        所有的正整数和正偶数一样多，所有的正整数和平方数一样多

        像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫作可数集

        ②有理数长度为0

3、实数集：有理数、无理数（无限不循环小数）

（1）代数：封闭

（2）几何：在数轴上连续、无缝（极限运算封闭→微积分学得以建立基础）

（3）几何：不可数集→不能与自然数建立一一对应

4、无限集合的基数א（以下把א写成N）

        基数：描述一个集合A中包含元素个数多少的量叫做这个集合的基数

（1）可数集基数N0的运算性质：

        N0+n=N0

        N0+N0=N0，nN0=N0

        N0*N0=N0，（N0）^n=N0

（2）代数数集是可数集→超越数不可数

（3）实数集是不可数的，基为N1（连续统基数）→无理数不可数

        运算性质：N1+n+N0=N1

                N1+N1=N1，nN1=N1

                N0*N1=N1， N1^n=N1

（4）超越数：刘维尔数、e、π、光速、万有引力常数……

5、认识超穷数（N0和N1）

（1）幂集的基数：集合M的幂集→集合M的所有子集构成的集合P（M）

（2）Cantor定理（没有最大基数）

        实数集是有理数集的幂集→N1=2^N0

        N0：所有整数和有理数的数目

        N1：线、面、立体上所有几何点的数目 N1=2^N0

        N2：所有几何曲线的数目 N2=2^N1

6、连续统假设：有没有介于N0和N1之间的其他基数？

→没有

哥德尔、科恩：有也行，没有也行

二、三种几何并存

1、欧几里得几何

（1）泰勒斯：数学史上第一个提供几何证明的人

（2）毕达哥拉斯：勾股定理

（3）欧几里得：筛选定理、选择公理、合理编排内容、精心组织方法→奠定数学公理化思想

        ①五条一般公理

        （a,b,c,d 皆为正数）

        a、跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。

        b、等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a+c = b+d（等量加法公理）。

        c、等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。

        d、完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。

        e、全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）。

        ②五条几何公理

        a、过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。

        b、线段(有限直线)可以任意地延长。

        c、以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。

        d、凡是直角都相等(角公理)。

        e、两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线则会在该侧相交。

2、非欧几何（罗巴切夫斯基几何+黎曼几何）：推翻第五公设

（1）高斯：1792年开始思考第五公设问题（鲍耶）

（2）罗巴切夫斯基：“过直线外一点可以作两条直线与之不相交”代替第五公理（非欧几何诞生日：1826年2月11日）

（3）黎曼：包罗罗巴切夫斯基几何（曲率为负常数）和欧几里得几何（曲率恒等于0）、狭义黎曼几何（曲率为正常数）

3、三种几何对比

（1）欧几里得几何：日常小范围内、平面、三角形内角和180°

（2）罗巴切夫斯基几何：太空中漫游或原子核世界、三种模型（庞斯莱、伪球面、庞加莱、克莱因）、三角形内角和小于180°、三角形面积大

（3）黎曼几何：地球上远距离旅行、球面、三角形内角和大于180°、三角形面积小

三、河图洛书与幻方

1、认识幻方

（1）洛书：任意横、竖、对角各条直线上的三个数之和均等于15

（2）幻方：一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法

        ①标准幻方：若幻方各个数是从1到n^2的连续自然数，则称之为标准幻方

                n阶标准幻方的幻和为：n*(n^2+1)/2

（3）为什么研究幻方：神奇之美、启智之功、应用之需

（4）分类：

        ①阶数

                a、奇数阶幻方

                b、偶数阶幻方：双偶阶幻方、单偶阶幻方

        ②性质：平方幻方（双重幻方）-平方和也相等、和积幻方（乘积幻方）-各数相乘也相等

（3）存在性：二阶幻方不存在，三阶幻方只有1种（洛书），四阶幻方有880种……

2、构造幻方

（1）奇数阶-杨辉：

三阶幻方（奇数阶）的构造：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进

结果：戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足

（2）奇数阶-劳伯尔构造：

在一个具有（2n+1）*（2n+1）个方格的方阵中，最顶行中间填上1，然后按照如下法则进行：

一居顶行正中央，后数依次右上放。

顶出格时置于底，右出格时左边躺。

排重挪到自下方，右顶飞到左底旁。

（3）偶数阶-海尔构造：

根数：n阶幻方→p的根数为n（p-1）

对角斜排：1→n从左到右填入两条对角线中（方阵A）

逆序填缺：每一行中填入1→n中没有的剩余数字（方阵B）

方阵转置：方阵B转置（交换行列）得到方阵C（原始数）

根数替换：原始数→根数→方阵D

方阵合并：方阵B和D合并

（4）双偶阶幻方

补数：n阶幻方→p的补数为n^2+1-p

依次填入：1→n^2

对角线替换：隔两个画出对角线+原对角线→替换补数

3、欣赏幻方

08 数学之趣

一、数字之趣

数字黑洞：数字串→经过一定规则反复演算，得出一个相同的结果

1、6174黑洞（卡普雷卡黑洞）：

（1）任意选择一个四位数（数字不能全相同）

（2）从大到小排列→数字1，从小到大排列→数字2

（3）用前者减去后者，得到一个新的数字，重复上述操作（卡普雷卡变换）

（4）7个循环之内，必然会得到6174

*三位数版本（495，最多六步）

*两位数版本（9的倍数）

2、123黑洞（西西弗斯串）：

（1）取任意一个数，数出它的偶数个数、奇数个数以及总的位数

（2）按照（偶、奇、总）排列，得到一个新的数

（3）重复上述过程，最终必将得到一个123的结果

*为什么：四位数时只会有五种情况→404、314、224、134、044

→303、123、303、123、303→123

3、153黑洞（自恋性数字黑洞）：任意取一个3的倍数，求其个位数字的立方和为新的数，对新数重复上述过程，最终必定会得到153这个结果。（370、371也是类似的黑洞）

4、1与4黑洞：任意一个自然数，求其各位数字的平方和为新的数，重复上述过程，最终的结果必定是1（黑洞）或者4（漩涡）

5、3x+1问题：对任意自然数，若为偶数，则除以2；若为奇数，则乘3+1，重复上述操作，最终结果必然是1

二、数形之趣

1、勾股定理——几何观点

几何学两大宝藏：勾股定理（毕达哥拉斯定理）、黄金分割

2、勾股定理——代数观点

（1）在边长是整数的直角三角形中：勾股中必定有一个数是3的倍数，勾股中必定有一个数是4的倍数，勾股弦中必定有一个数是5的倍数

（2）不存在勾股同时是奇数，而弦为偶数的组合

（3）弦与勾股中某一数之和、差均为完全平方数

（4）弦与勾股中某一数之算术平均为完全平方数

3、勾股定理——勾股数趣谈

（1）除了1和2之外，任何一个自然数都可以作为整数边长直角三角形的一个直角边边长

（2）一个直角边和斜边为连续整数

（3）两个直角边为连续整数

三、逻辑之趣

1、悖论起源与定义

（1）芝诺悖论：

        ①运动不存在：空间和时间连续无限可分，运动不存在

        ②阿基里斯悖论

        ③飞矢不动（间断时空观）

        ④运动相对性

（2）说谎悖论

2、悖论与数学发展

第一次数学危机（古希腊时期）：对于无理数的认识→欧多克斯 新的比例理论

        实验数学→推理数学→公理几何与逻辑的诞生

第二次数学危机（18世纪）：瞬时速度问题、曲线切线、函数极值、求积问题→牛顿、莱布尼茨微积分→19世纪极限理论

        方法论的变革→合情推理找方向，演绎推理定结论

第三次数学危机：康托尔集合论→罗素悖论→集合论公理化→ZFC系统→哥德尔不完备定理

        认识论的不严谨

3、悖论示例与启示

悖论是不可避免的

悖论可以解决

条件收敛级数不满足交换律

三、数学、游戏与魔术

1、有和无——二进制魔术：右往左 存在与否→1/0

2、奇与偶——动了哪张牌

3、序与数——你两的秘密我知道

（1）鸽笼原理：五张牌一定有两张同花色→取出一张，另一张放在首位

（2）剩下三张→1 ~ 6

09 数学之妙

一、数学归纳法原理

        拉普拉斯：在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和类比。

1、理论基础：

        皮亚诺自然数公理：自然数集N是指满足以下条件的集合

        （1）有一个元素记作1

        （2）N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者n+，1不是任何元素的后继者

        （3）不同元素有不同的后继者

        （4）归纳公理：N任一子集M，如果1∈M，并且只要n在M中就能推出n的后继者n+也在M中，那么M=N

2、应用

二、反证法与抽屉原理

三、七桥问题与一笔画定理

奇点的个数最多为0个或2个→七桥问题不可能

四、数论与密码

1、加密基本模式：内容（明文）→密钥→密文

2、代换法：破解→截取大量信息

3、RSA编码方法：对极大整数做因数分解的难度决定了 RSA 算法的可靠性

（1）p、q→N=p*q

（2）较小的数n，使得n与（p-1）、（q-1）均互素

（3）m→mn-1是（p-1）（q-1）的倍数→mn = k（p-1）（q-1）+1

        可公开：N、n

加密传输过程（欧拉定理）：

（1）明文x→        x的n次方/N        所得的余数→密文y

（2）密文y→        y的m次方/N        所得的余数→明文x

例：p = 3        q = 11        p – 1 = 2        q – 1 = 10

        A、N = 33，选择n = 7→公开密钥

        B、mn – 1 = 7m – 1

                = k*2*10 = 20k

                →m = (20k + 1) / 7

        C、取k = 1，则m = 3

10 数学之问

一、古代三大数学难题（19世纪使用代数方法证明全部不可能）

限定：无刻度直尺、圆规、有限步数

1、化圆为方

（1）公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱

（2）等待执行的日子里，阿那克萨哥拉睡不着，他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”
（3）阿那克萨哥拉把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料想他把所有的时间都用上，也一无所获
（4）经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，阿那克萨哥拉获释出狱。他把自己在监狱中想到的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方”问题

2、倍立方体

（1）传说在公元前4世纪，古希腊的雅典流行一种病疫，为了消除灾难，雅典人向日神求助。

（2）日神说：“如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方体香案的体积扩大一倍。”这个条件使雅典人很高兴，他们认为这是容易做到的，于是把旧香案的各棱放大一倍，做了一个新的立方体香案。然而疫势反而更加猖獗

（3）当雅典人再去祈祷日神时，他们才知道新香案的体积并不是旧香案的两倍。这就难住了当时的人们，连最有名的学者柏拉图也感到无能为力。

3、三等分角

（1）公元前4世纪，亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。
（2）一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。
（3）过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？

4、为什么三大难题不可解决

（1）化圆为方

（2）倍立方体

（3）三等分角

二、费马猜想（已解决）

费马猜想：当整数n>2时，关于x^n+y^n=z^n没有正整数解。（1637年左右）

欧拉证明了当n=3的时候，费马猜想是成立的，发表在《代数指南》中，方法是“无限下降法”

三、哥德巴赫猜想（尚未解决，与素数相关）

哥德巴赫猜想：任意一个大于5的整数都可以写成三个质数之和

常用的说法：任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和

把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。

1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

四、四色猜想

已经被计算机解决

近代三大数学难题：费马猜想、哥德巴赫猜想、四色猜想

五、庞加莱猜想(佩雷尔曼于2006年证明，目前七大难题中唯一解决的难题)

1、千禧年七大难题：百度百科-验证

2、庞加莱猜想内容：

（1）二维平面：一条封闭的曲线（包括无限长的直线、无穷远点），不论它有多复杂，都在某种意义下等同于一个圆周。

（2）曲面：一个封闭的无洞的曲面，包括无限大的平面、无穷远点，不论它有多复杂，都在某种意义下等同于一个球面。

（3）1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：

        “任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”

简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。

后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

六、黎曼猜想：“素数不仅有无穷多个，而且这无穷多个素数以一种微妙而精确的模式出现。”（尚未解决，与素数相关）

        →黎曼函数

参考文章（对以下文章的作者表示感谢）：

[1]数学文化赏析学习笔记_violet forever的博客-CSDN博客

[2]【学习笔记】MOOC 数学文化赏析 笔记_喂盐的博客-CSDN博客

[3]数学文化赏析期末笔记_NP_hard的博客-CSDN博客