Überblick

• 第2章 控制系统的动态数学模型
• • 2.1 系统数学模型的基本概念
  • • 建立数学模型的方法
    • • 解析法
      • 实验法
    • 数学模型的形式
  • 2.2 控制系统的运动微分方程
  • • 控制系统微分方程的列写
    • • 机械系统
      • 电路系统
      • • 基本元件的计算公式
        • R-L-C 无源网络
    • 建立数学模型的一般步骤：
    • Zusammenfassend kann man sagen:
  • 2.3 非线性系统数学模型的线性化
  • • 系统线性化微分方程的建立
  • 2.4 拉氏变换和拉氏反变换
  • • 2.4.1基本定义
    • • 拉氏变换
      • 拉氏反变换
      • 一些说明
    • 2.4.2一些简单函数的拉氏变换
    • 2.4.3 拉氏变换性质
    • 2.4.4 拉氏反变换
    • • 只含不同单极点的情况：
      • 含共轭复数极点的情况：
      • • 方法1：
        • 方法2：
      • 含有多重极点的情况：
    • 2.4.5 借用拉氏变换求解常系数线性微分方程
  • 2.5 传递函数及典型环节的传递函数
  • 2.6 系统函数方块图和信号流图
  • • 信号流图及其术语
    • 梅逊公式
  • 2.7 控制系统传递函数推导举例

这一章不是交朋友了

第2章 控制系统的动态数学模型

2.1 系统数学模型的基本概念

考试考不了的概念就不写了，写点我觉得可能会考的。

建立数学模型的方法

解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。

实验法

人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。

数学模型的形式

2.2 控制系统的运动微分方程

对于一个实际的机械系统，我们常常把一些惯性大，刚度大的构件抽象为质量块，把惯性小，柔度大的构建抽象为无质量的弹簧块。这样一来，我们研究的对象就可以被视作是一个质量-弹簧-阻尼系统。

控制系统微分方程的列写

机械系统

学机械的这些应该没有大问题，这里不多啰嗦了。

电路系统

电工学忘了的这里可以补一下

基本元件的计算公式

电阻：$u(t)=R\cdot i(t)$
电容：u(t)=1C∫i(t)dtu(t)={1\over C}\int i(t) \mathrm{d}tu(t)=C1​∫i(t)dt
电感：u(t)=Ldi(t)dtu(t)=L{\mathrm{d} i(t)\over \mathrm{d} t}u(t)=Ldtdi(t)​

R-L-C 无源网络

电路图如下所示：

首先列写输入和输出的电压和电流之间的关系式子：
{uit()=Ri(t)+Lddti(t)+1C∫i(t)dtuo(t)=1C∫i(t)dt\begin{cases} u_it()=Ri(t)+L{\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}i(t)+{1\over C}\int i(t) \mathrm{d} t \\u_o(t)={1\over C}\int i(t) \mathrm{d} t \end{cases} {ui​t()=Ri(t)+Ldtd​i(t)+C1​∫i(t)dtuo​(t)=C1​∫i(t)dt​
那么我们把u0(t)u_0(t)u0​(t)代入到ui(t)u_i(t)ui​(t)中就可以得到如下的微分方程：
LCu¨0(t)+RCu˙o(t)+Uo(t)=ui(t)LC \ddot u_0(t)+RC\dot u_o(t)+U_o(t)=u_i(t) LCu¨0​(t)+RCu˙o​(t)+Uo​(t)=ui​(t)

建立数学模型的一般步骤：

确定输入输出——列出各元件部件的动态微分方程——消去中间变量——导数降幂排列

Zusammenfassend kann man sagen:

通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元件，其内部就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。

2.3 非线性系统数学模型的线性化

泰勒级数展开法。

系统线性化微分方程的建立

确定系统各组成元件在平衡态的工作点
列出各组成元件在工作点附近的增量方程
消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程

2.4 拉氏变换和拉氏反变换

好好学！非常重要！能不能及格就看拉氏变换了。

2.4.1基本定义

拉氏变换

一个比较正常的函数$f(t)$的拉氏变换基本上都是存在的，我们定义这个函数的拉氏变换的计算式为：
F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdtF(s)=L[f(t)]=\int ^\infty_0f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t F(s)=L[f(t)]=∫0∞​f(t)e−stdt
式中：$s=\sigma +\mathrm{j}\omega$（$\sigma$，$\omega$均实数）为复变数；
∫0∞e−stdt\int ^\infty_0\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t∫0∞​e−stdt称为拉普拉斯积分；
$F(s)$称为函数$f(t)$的拉普拉斯变换或象函数，它是一个复变函数；$f(t)$称为$F(s)$的原函数；$L$为拉氏变换的符号。

拉氏反变换

f(t)=L−1[F(s)]=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)estdsf(t)=L^{-1}[F(s)]={1\over 2 \pi \mathrm{j}}\int^{\sigma+\mathrm{j}\infty}_{\sigma- \mathrm{j}\infty}F(s) \mathrm{e}^{st} \mathrm{d}s f(t)=L−1[F(s)]=2πj1​∫σ−j∞σ+j∞​F(s)estds
L−1L^{-1}L−1是拉氏反变换的符号。

一些说明

拉氏变换可以理解为定义在复频域上的单边傅里叶变换。有关傅里叶变换的理解，这里有一篇非常好的博客可以参考一下。拉氏变换的物理意义啥的好像比较复杂，我也整不明白，其实傅里叶变换我也没有整的太明白，反正就看一乐把。
拉氏变换的物理意义我虽然整不太明白，但是作为一种数学工具它可以把微分方程转化为简单的四则运算，大大降低了计算量（不过拉氏变换很麻烦啊！）。

2.4.2一些简单函数的拉氏变换

函数名	原函数	象函数
单位阶跃函数	1(t)={0t<01t>01(t)=\begin{cases}0&t<0\\1&t>0\end{cases}1(t)={01​t<0t>0​	1s1\over ss1​
指数函数	f(t)=e−at（a为常数）f(t)=\mathrm{e}^{-at}（a为常数）f(t)=e−at（a为常数）	1s+a1\over s+as+a1​
正弦函数及余弦函数	f(t)=sinωtf(t)=cosωt\begin{aligned}f(t)&=sin\omega t \\f(t)&=cos\omega t\end{aligned}f(t)f(t)​=sinωt=cosωt​	ωs2+ω2ss2+ω2{\omega \over s^2+\omega^2}\\{s\over s^2+\omega^2}s2+ω2ω​s2+ω2s​
单位脉冲函数	δ(t)={0(t<0,t>ϵ)lim⁡ϵ→01ϵ(0<t<ϵ)\delta(t)=\begin{cases} 0 &(t<0,t>\epsilon)\\ \lim\limits_ {\epsilon \to 0} {1\over \epsilon} &(0<t<\epsilon)\end{cases}δ(t)={0ϵ→0lim​ϵ1​​(t<0,t>ϵ)(0<t<ϵ)​	$$1$$
单位速度函数	f(t)={0t<0tt≥0f(t)=\begin{cases}0 &t<0\\t&t\geq 0\end{cases}f(t)={0t​t<0t≥0​	1s2{1\over s^2}s21​
单位加速度函数	f(t)={0t<012t2t≥0f(t)=\begin{cases}0 &t<0\\{1\over 2}t^2&t\geq 0\end{cases}f(t)={021​t2​t<0t≥0​	1s3{1\over s^3}s31​
幂函数	f(t)=tn⋅1(t)f(t)=t^n\cdot 1(t)f(t)=tn⋅1(t)	n!sn+1{n!\over s^{n+1}}sn+1n!​

拉氏变换积分下限的说明：自己翻书吧。我觉得这玩意儿不能考。

2.4.3 拉氏变换性质

叠加原理：
齐次性：$L[\alpha f(t)]=\alpha L[f(t)],\alpha 为常数$；
叠加性：L[αf1(t)+βf2(t)]=αL[f1(t)]+βL[f2(t)],α,β为常数L[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha L[f_1(t)]+\beta L[f_2(t)], \alpha, \beta 为常数L[αf1​(t)+βf2​(t)]=αL[f1​(t)]+βL[f2​(t)],α,β为常数
显然，拉氏变换为线性变换。
微分定理：
{L[df(t)dt]=sF(s)−f(0)L[d2f(t)dt2]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)⋅⋅⋅L[dnf(t)dtn]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋅⋅⋅−f(n−1)(0)\begin{cases} \begin{aligned} L\left [\mathrm{d}f(t)\over \mathrm{d}t \right]&=sF(s)-f(0) \\L\left [\mathrm{d}^2f(t)\over \mathrm{d}t^2 \right]&=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) \\ \cdot \cdot \cdot \\L\left [\mathrm{d}^nf(t)\over \mathrm{d}t^n \right]&=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdot \cdot \cdot -f^{(n-1)}(0) \end{aligned} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​L[dtdf(t)​]L[dt2d2f(t)​]⋅⋅⋅L[dtndnf(t)​]​=sF(s)−f(0)=s2F(s)−sf(0)−f′(0)=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋅⋅⋅−f(n−1)(0)​​
如果研究零初始条件，也就是$f(t)$及其各阶导数在$t=0$时刻的值均为零：
{L[df(t)dt]=sF(s)L[d2f(t)dt2]=s2F(s)⋅⋅⋅L[dnf(t)dtn]=snF(s)\begin{cases} \begin{aligned} L\left [\mathrm{d}f(t)\over \mathrm{d}t \right]&=sF(s) \\L\left [\mathrm{d}^2f(t)\over \mathrm{d}t^2 \right]&=s^2F(s) \\ \cdot \cdot \cdot \\L\left [\mathrm{d}^nf(t)\over \mathrm{d}t^n \right]&=s^nF(s) \end{aligned} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​L[dtdf(t)​]L[dt2d2f(t)​]⋅⋅⋅L[dtndnf(t)​]​=sF(s)=s2F(s)=snF(s)​​
积分定理：
L[∫f(t)dt]=F(s)s+f(−1)(0)s,其中：f(−1)(0)=∫f(t)dt∣t=0L[\int f(t)\mathrm{d}t]={F(s)\over s}+{f^{(-1)}(0)\over s},其中：f^{(-1)}(0)=\int f(t)\mathrm{d}t|_{t=0} L[∫f(t)dt]=sF(s)​+sf(−1)(0)​,其中：f(−1)(0)=∫f(t)dt∣t=0​
当初始条件为零时，L[∫f(t)dt]=F(s)sL[\int f(t)\mathrm{d}t]={F(s)\over s}L[∫f(t)dt]=sF(s)​
延时定理：
设当$t<0$时，$f(t)=0$，则对任意$\tau \ge 0$，有：
若L[f(t)]=F(s)L[f(t−τ)]=e−sτF(s)若L[f(t)]=F(s) \\L[f(t-\tau)]=\mathrm{e}^{-s\tau}F(s) 若L[f(t)]=F(s)L[f(t−τ)]=e−sτF(s)
衰减定理：
L[e−atf(t)]=F(s+a)L[\mathrm{e}^{-at}f(t)]=F(s+a) L[e−atf(t)]=F(s+a)
初值定理：
lim⁡t→0+f(t)=f(0+)=lim⁡s→∞sF(s)\lim\limits_{t\to0^+}f(t)=f(0^+)=\lim\limits_{s\to\infty}sF(s) t→0+lim​f(t)=f(0+)=s→∞lim​sF(s)
终值定理：
若$sF(s)$的所有极点位于左半$s$平面，即lim⁡t→∞f(t)\lim\limits_{t\to \infty}f(t)t→∞lim​f(t)存在。（一个不太严谨的解释：因为如果出现在右半平面原函数的e−Tt\mathrm{e}^{-T t}e−Tt项中的T就为负数，这样一来极限就不存在了）则：
lim⁡t→∞f(t)=f(∞)=lim⁡s→∞sF(s)\lim\limits_{t\to \infty}f(t)=f(\infty)=\lim\limits_{s\to\infty}sF(s) t→∞lim​f(t)=f(∞)=s→∞lim​sF(s)
卷积定理：
$$L[f(t)\ast g(t)]=F(s)G(s)$$
其中，$f(t)\ast g(t)$表示函数$f(t)$和$g(t)$的卷积。
若$t<0$，$f(t)=g(t)=0$，则$f(t)$和$g(t)$的卷积可表示为：
f(t)∗g(t)=∫0tf(t−τ)g(τ)dτ=∫0tf(τ)g(t−τ)dτf(t)*g(t)=\int^t_0f(t-\tau)g(\tau)\mathrm{d}\tau=\int^t_0f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau f(t)∗g(t)=∫0t​f(t−τ)g(τ)dτ=∫0t​f(τ)g(t−τ)dτ
因为当$\tau >t$时，$t-\tau <0$，这样一来，$f(t-\tau )=0$，所以原来的积分上下限$-\infty$和$+\infty$就变为了$0$和$t$。
f(ta)f\left({t\over a}\right)f(at​)的象函数：
L[f(ta)]=aF(as),a=常数>0L\left[f\left({t\over a}\right)\right]=aF(as), a=常数>0 L[f(at​)]=aF(as),a=常数>0
上面提到的定理都很重要背诵全文。

2.4.4 拉氏反变换

部分分式法：
在控制理论中常常出现如下形式的分式：
F(s)=B(s)A(s)=b0sm+b1sm−1+⋯+bm−1s+bma0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an(n≥m)F(s)={B(s)\over A(s)}={b_0 s^m+b_1 s^{m-1}+\dots+b_{m-1}s+b_m\over a_0 s^n +a_1 s^{n-1}+\dots +a_{n-1}s+a_n}(n\ge m) F(s)=A(s)B(s)​=a0​sn+a1​sn−1+⋯+an−1​s+an​b0​sm+b1​sm−1+⋯+bm−1​s+bm​​(n≥m)
两个重要的概念：
极点：使分母为0的s值；零点：使分子为零的s值。
我们首先将$F(s)$写成如下形式：
F(s)=B(s)A(s)=c0sm+c1sm−1+⋯+cm−1s+cm(s+p1)(s+p2)…(s+pn)(n≥m)F(s)={B(s)\over A(s)}={c_0 s^m+c_1 s^{m-1}+\dots+c_{m-1}s+c_m\over (s+p_1)(s+p_2)\dots (s+p_n)}(n\ge m) F(s)=A(s)B(s)​=(s+p1​)(s+p2​)…(s+pn​)c0​sm+c1​sm−1+⋯+cm−1​s+cm​​(n≥m)
由此我们就可以利用高中一年级的数学知识对$F(s)$进行进一步的变化，根据极点情况的不同可以分为如下几种情况。

只含不同单极点的情况：

我们将分式进一步变化为如下形式：
F(s)=B(s)A(s)=∑i=1nAis+piF(s)={B(s)\over A(s)}=\sum^n_{i=1}{A_i\over s+p_i} F(s)=A(s)B(s)​=i=1∑n​s+pi​Ai​​
式中，AiA_iAi​为常数，称为s=−pis=-p_is=−pi​极点处的留数。
可以证明（别管为什么了，记住就好了）：
Ai=[F(s)⋅(s+pi)]s=−piA_i=[F(s)\cdot (s+p_i)]_{s=-p_i} Ai​=[F(s)⋅(s+pi​)]s=−pi​​
上面这个式子用语言来描述就是：先把分母的某一项去掉，然后把这一项对应的极点的值代入到去掉以后的式子当中，得到的数字就是AiA_iAi​，也就是这一项对应的分式的系数。
那么根据之前所说的指数函数的拉普拉斯变换我们就可以得到只含有不同单极点时的拉氏反变换的表达式：
L−1[F(s)]=L−1[∑i=1nAis+pi]=∑i=1nAie−pitL^{-1}[F(s)]=L^{-1}\left[\sum^n_{i=1}{A_i\over s+p_i}\right]=\sum^n_{i=1}{A_i \mathrm{e}^{-p_i t}} L−1[F(s)]=L−1[i=1∑n​s+pi​Ai​​]=i=1∑n​Ai​e−pi​t

含共轭复数极点的情况：

处理这种情况有两种方法

方法1：

按照之前只含不同单极点的情况来进行处理，做到最后用欧拉公式把带有复数的指数拆开然后化简得到最后结果。
欧拉公式如果忘了这里提个醒：
ejx=cosx+jsinx\mathrm{e}^{\mathrm{j} x}=\mathrm{cos}x+\mathrm{j}\mathrm{sin}x ejx=cosx+jsinx

方法2：

假设$F(s)$只含有一对共轭复数极点−p1-p_1−p1​、−p2-p_2−p2​，其余极点均为各不相同的实数极点，则
F(s)=B(s)A(s)=A1s+A2(s+p1)(s+p2)+A3s+p3+⋯+Ans+pnF(s)={B(s)\over A(s)}={A_1s+A_2\over(s+p_1)(s+p_2)}+{A_3\over s+p_3}+\dots+{A_n\over s+p_n} F(s)=A(s)B(s)​=(s+p1​)(s+p2​)A1​s+A2​​+s+p3​A3​​+⋯+s+pn​An​​
A3A_3A3​的AnA_nAn​的求解方法和只含不同极点的求解方法是一样的，A1A_1A1​和A2A_2A2​的值由下式求解：
[F(s)(s+p1)(s+p2)]s=−p1或s=−p2=[A1s+A2]s=−p1或s=−p2[F(s)(s+p_1)(s+p_2)]_{s=-p_1或s=-p_2}=[A_1 s+A_2]_{s=-p_1或s=-p_2} [F(s)(s+p1​)(s+p2​)]s=−p1​或s=−p2​​=[A1​s+A2​]s=−p1​或s=−p2​​
解释一下，这里的“−p1-p_1−p1​或−p2-p_2−p2​”的意思是，往s里代入谁都可以。也就是说两边都代−p1-p_1−p1​或者两边都代−p2-p_2−p2​得到的A1,A2A_1,A_2A1​,A2​的结果是一样的。
把式子拆成这样以后，可以对含有A1,A2A_1,A_2A1​,A2​的第一项的分母进行配方，然后下面就可以利用衰减定理把式子拉氏反变换为指数函数乘以三角函数的形式了。这里由一道用于说明具体操作的例题。
求F(s)=s+1s(s2+s+1)的原函数求F(s)={s+1 \over s(s^2+s+1)}的原函数求F(s)=s(s2+s+1)s+1​的原函数
解：F(s)=s+1s(s+12+j32)(s+12−j32)=A0s+A1s+A2s2+s+1A0=sF(s)∣s=0=1(s2+s+1)F(s)∣s=−12−j32=(A1s+A2)∣s=−12−j32等式左边=12+j32等式右边=(−12−j32)A1+A212+j32=(−12−j32)A1+A2这个时候让实部等于实部，虚部等于虚部，我们就可以解得：{A1=−1A2=0这样一来式子就变成了：F(s)=1s−s(s+12)2+(32)2=1s−s+12(s+12)2+(32)2+12(s+12)2+(32)2=1s−s+12(s+12)2+(32)2+1332(s+12)2+(32)2这个时候就可以尝试再理解一下之前黄色的话了。f(t)=1−e−t/2cos32t+13e−t/2sin32t再往后有兴趣可以再用辅助角公式再化一下解：F(s)={s+1 \over s(s+{1\over 2}+\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2})(s+{1\over 2}-\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2})}={A_0\over s}+{A_1 s+A_2\over s^2+s+1} \\A_0=sF(s)|_{s=0}=1 \\(s^2+s+1)F(s)|_{s=-{1\over 2}-\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2}}=(A_1 s+A_2)|_{s=-{1\over 2}-\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2}} \\等式左边={1\over 2}+\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2} \\等式右边=(-{1\over 2}-\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2})A_1+A_2 \\{1\over 2}+\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2}=(-{1\over 2}-\mathrm{j}{\sqrt{3}\over 2})A_1+A_2 \\这个时候让实部等于实部，虚部等于虚部，我们就可以解得： \\\begin{cases} A_1=-1 \\A_2=0 \end{cases} \\这样一来式子就变成了： \\\begin{aligned} \\F(s)&={1\over s}-{s\over (s+{1\over 2})^2+({\sqrt{3} \over 2})^2} \\&={1\over s}-{s+{1\over 2}\over (s+{1\over 2})^2+({\sqrt{3} \over 2})^2}+{{1\over 2}\over (s+{1\over 2})^2+({\sqrt{3} \over 2})^2} \\&={1\over s}-{s+{1\over 2}\over (s+{1\over 2})^2+({\sqrt{3} \over 2})^2}+{1\over \sqrt{3}}{{\sqrt{3}\over 2}\over (s+{1\over 2})^2+({\sqrt{3} \over 2})^2} \end{aligned} \\这个时候就可以尝试再理解一下之前黄色的话了。 \\f(t)=1-\mathrm{e}^{-t/2}\mathrm{cos}{\sqrt{3}\over 2}t+{1\over \sqrt{3}}\mathrm{e}^{-t/2}\mathrm{sin}{\sqrt{3}\over 2}t \\再往后有兴趣可以再用辅助角公式再化一下 解：F(s)=s(s+21​+j23​​)(s+21​−j23​​)s+1​=sA0​​+s2+s+1A1​s+A2​​A0​=sF(s)∣s=0​=1(s2+s+1)F(s)∣s=−21​−j23​​​=(A1​s+A2​)∣s=−21​−j23​​​等式左边=21​+j23​​等式右边=(−21​−j23​​)A1​+A2​21​+j23​​=(−21​−j23​​)A1​+A2​这个时候让实部等于实部，虚部等于虚部，我们就可以解得：{A1​=−1A2​=0​这样一来式子就变成了：F(s)​=s1​−(s+21​)2+(23​​)2s​=s1​−(s+21​)2+(23​​)2s+21​​+(s+21​)2+(23​​)221​​=s1​−(s+21​)2+(23​​)2s+21​​+3​1​(s+21​)2+(23​​)223​​​​这个时候就可以尝试再理解一下之前黄色的话了。f(t)=1−e−t/2cos23​​t+3​1​e−t/2sin23​​t再往后有兴趣可以再用辅助角公式再化一下

含有多重极点的情况：

设$F(s)$存在$r$重极点−p0-p_0−p0​，其余极点均不同，则
F(s)=A01(s+p0)r+A02(s+p0)r−1+⋯+A0r(s+p0)+Ar+1(s+pr+1)+⋯+An(s+pn)F(s)={A_{01}\over(s+p_0)^r}+{A_{02}\over(s+p_0)^{r-1}}+\dots+{A_{0r}\over(s+p_0)}+{A_{r+1}\over(s+p_{r+1})}+\dots+{A_n\over(s+p_n)} F(s)=(s+p0​)rA01​​+(s+p0​)r−1A02​​+⋯+(s+p0​)A0r​​+(s+pr+1​)Ar+1​​+⋯+(s+pn​)An​​
对于这种情况，根据以下公式计算：
A0r=[F(s)(s+p0)r]s=−p0A0r={dds[F(s)(s+p0)r]}s=−p0…A0r=1(r−1)!{dr−1dsr−1[F(s)(s+p0)r]}s=−p0A_{0r}=\left[F(s)(s+p_0)^r\right]_{s=-p_0} \\A_{0r}=\left\{{\mathrm{d}\over \mathrm{d}s}[F(s)(s+p_0)^r]\right\}_{s=-p_0} \\\dots \\A_{0r}={1\over (r-1)!}\left\{{\mathrm{d}^{r-1}\over \mathrm{d}s^{r-1}}[F(s)(s+p_0)^r]\right\}_{s=-p_0} A0r​=[F(s)(s+p0​)r]s=−p0​​A0r​={dsd​[F(s)(s+p0​)r]}s=−p0​​…A0r​=(r−1)!1​{dsr−1dr−1​[F(s)(s+p0​)r]}s=−p0​​
值得注意的是，这边一阶两阶的情况下，阶乘的作用是体现不出来的，但是两阶以上就会发生系数的改变，计算时请务必小心。

2.4.5 借用拉氏变换求解常系数线性微分方程

直接来看一道题目吧
解方程y¨(t)+5y˙(t)+6y(t)=6\ddot y(t)+5\dot y(t)+6y(t)=6y¨​(t)+5y˙​(t)+6y(t)=6，其中，y˙(0)=2,y(0)=2\dot y(0)=2,y(0)=2y˙​(0)=2,y(0)=2
方程两边同时进行拉氏变换，运用之前的微分定理我们可以得到如下结论（注意这里并不是零初始条件，所以需要考虑初值的问题）
s2Y(s)−sy(0)−y˙(0)+5[sY(s)−y(0)]+6Y(s)=6ss^2Y(s)-sy(0)-\dot y(0)+5[sY(s)-y(0)]+6Y(s)={6\over s} s2Y(s)−sy(0)−y˙​(0)+5[sY(s)−y(0)]+6Y(s)=s6​
代入初值条件，整理后得：
Y(s)=2s2+12s+6s(s+2)(s+3)=1s+5s+2−4s+3Y(s)={2s^2+12s+6\over s(s+2)(s+3)}={1\over s}+{5\over s+2}-{4\over s+3} Y(s)=s(s+2)(s+3)2s2+12s+6​=s1​+s+25​−s+34​
因此：y(t)=1+5e−2t−4e−3ty(t)=1+5\mathrm{e}^{-2t}-4\mathrm{e}^{-3t}y(t)=1+5e−2t−4e−3t
**Zusammenfassend kann man sagen,**先拉氏变换，代入初始条件，然后代数运算出$y(t)$的象函数$Y(s)$的表达式，最后再把$Y(s)$拉氏反变换回来得到$y(t)$的表达式。

2.5 传递函数及典型环节的传递函数

传递函数的定义式为：
G(s)≜Xo(s)XisG(s)\triangleq{X_o(s)\over X_i{s}} G(s)≜Xi​sXo​(s)​
式中Xo(s)X_o(s)Xo​(s)为系统输出量的拉氏变换，Xi(s)X_i(s)Xi​(s)为系统输入量的拉氏变换。这个定义表示了在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
如果我们考虑一个系统的传递函数为：
G(s)=Xo(s)Xis=b0sm+b1sm−1+⋯+bm−1s+bma0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an=N(s)D(s)G(s)={X_o(s)\over X_i{s}}={b_0 s^m+b_1 s^{m-1}+\dots+b_{m-1}s+b_m\over a_0 s^n +a_1 s^{n-1}+\dots +a_{n-1}s+a_n}={N(s)\over D(s)} G(s)=Xi​sXo​(s)​=a0​sn+a1​sn−1+⋯+an−1​s+an​b0​sm+b1​sm−1+⋯+bm−1​s+bm​​=D(s)N(s)​
特征方程：$D(s)=0$，它的根称为特征根，这决定了系统的动态特性。$D(s)$中$s$的最高阶次等于系统的阶次。
放大系数/增益：G(0)=bm/an=KG(0)=b_m/a_n=KG(0)=bm​/an​=K。反应了系统处于静态时输入和输出的比值。
零点：$N(s)=0$时的根，也就是分子等于0时的根。
极点：$G(s)=0$时的根，也就是分母等于0时的根。
我们可以在一个复平面上把传递函数的零极点的分布画出来，也就是零极点分布图，零点用$\mathrm{O}$表示，极点用$\times$表示。
下面我们来讨论一些系统中的典型环节的传递函数。一共有六个典型环节，这六个环节经过乘法的组合可以组成所有的多项分式形式的传递函数的系统。这些环节可以先了解一下。

基本环节	传递函数	符号说明	例子	作用
比例环节	K	比例系数	齿轮传动副 运算放大器	放大或缩小信号强度
一阶微分环节	$\tau s+1$	时间常数	测速发电机	反映变化趋势，改善动态性能
二阶微分环节	τ2s2+2ζτs+1\tau ^2s^2+2\zeta\tau s+1τ2s2+2ζτs+1
积分环节	1Ts1\over TsTs1​	时间常数	有源积分网络	具有明显的滞后作用，改善系统的精度
一阶惯性环节	KTs+1K\over Ts+1Ts+1K​	$$\begin{gathered} K环节增益 \\ T时间常数 \end{gathered}$$	弹簧阻尼器环节
二阶振荡环节	1T2s2+2ζTs+11\over T^2s^2+2\zeta Ts+1T2s2+2ζTs+11​	$$\begin{gathered} T振荡环节的时间常数 \\ \zeta 阻尼比 \\ K比例系数 \end{gathered}$$	质量弹簧阻尼系统 RLC电路等

除此之外，实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间$\tau$，即xo(t)=xi(t−τ)x_o(t)=x_i(t-\tau)xo​(t)=xi​(t−τ)，此时：
Xo(s)=e−τsXi(s)X_o(s)=\mathrm{e}^{-\tau s}X_i(s) Xo​(s)=e−τsXi​(s)
或者G(s)=e−τsG(s)=\mathrm{e}^{-\tau s}G(s)=e−τs。这种环节我们称之为延迟环节。

2.6 系统函数方块图和信号流图

之前写了一个小时这一节没保存，心态崩了。这里就记录信号流图的部分了。框图比较简单这里就不过多赘述了

信号流图及其术语

节点：表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。节点用“o”表示。
支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。
输入节点（源点）：只有输出的节点，代表系统的输入变量。
输出节点（阱点/汇点）：只有输入的节点，代表系统的输出变量。
混合节点：既有输入又有输出的节点。
通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。
前向通路：从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pkp_kpk​表示。
回路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用LaL_aLa​表示。
不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。
下面用一个例题来阐述如何绘制信号流图。

I1(s)=Ui(s)−UA(s)R1UA(s)=1C1s[I1(s)−I2(s)]I2(s)=UA(s)−Uo(s)R2Uo(s)=1C2sI2(s)\begin{aligned} I_1(s)&={U_i(s)-U_A(s)\over R_1} \\U_A(s)&={1\over C_1 s}[I_1(s)-I_2(s)] \\I_2(s)&={U_A(s)-U_o(s)\over R_2} \\U_o(s)&={1\over C_2 s}I_2(s) \end{aligned} I1​(s)UA​(s)I2​(s)Uo​(s)​=R1​Ui​(s)−UA​(s)​=C1​s1​[I1​(s)−I2​(s)]=R2​UA​(s)−Uo​(s)​=C2​s1​I2​(s)​
那么分别根据以上的式子我们可以的得到：

I1(s)=Ui(s)−UA(s)R1I_1(s)={U_i(s)-U_A(s)\over R_1} I1​(s)=R1​Ui​(s)−UA​(s)​

I2(s)=UA(s)−Uo(s)R2I_2(s)={U_A(s)-U_o(s)\over R_2} I2​(s)=R2​UA​(s)−Uo​(s)​

UA(s)=1C1s[I1(s)−I2(s)]U_A(s)={1\over C_1 s}[I_1(s)-I_2(s)] UA​(s)=C1​s1​[I1​(s)−I2​(s)]

Uo(s)=1C2sI2(s)U_o(s)={1\over C_2 s}I_2(s) Uo​(s)=C2​s1​I2​(s)
把上面这四个信号流图联系在一起我们就可以得到：

梅逊公式

P=1Δ∑kPkΔkP={1\over \Delta}\sum_k P_k \Delta_k P=Δ1​k∑​Pk​Δk​
式中，$P$为系统总传递函数。PkP_kPk​为第$k$条前向通路的传递函数（通路增益）。$\Delta$为流图特征式。Δk\Delta_kΔk​为第$k$条前向通路特征式的余因子，，即对于流图的特征式$\Delta$，将与第$k$条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的$\Delta$即为Δk\Delta_kΔk​。
其中：
Δ=1−∑aLa+∑b,cLbLc−∑d,e,fLdLeLf+…\Delta=1-\sum_a L_a+\sum_{b,c}L_bL_c-\sum_{d,e,f}L_dL_eL_f+\dots Δ=1−a∑​La​+b,c∑​Lb​Lc​−d,e,f∑​Ld​Le​Lf​+…
∑aLa——所有不同回路的传递函数之和；∑b,cLbLc——每两个互不接触回路传递函数乘积之和∑d,e,fLdLeLf——每三个互不接触回路传递函数乘积之和。\sum_a L_a——所有不同回路的传递函数之和； \\\sum_{b,c}L_bL_c——每两个互不接触回路传递函数乘积之和 \\\sum_{d,e,f}L_dL_eL_f——每三个互不接触回路传递函数乘积之和。 a∑​La​——所有不同回路的传递函数之和；b,c∑​Lb​Lc​——每两个互不接触回路传递函数乘积之和d,e,f∑​Ld​Le​Lf​——每三个互不接触回路传递函数乘积之和。
用另外一道例题来展示如何通过信号流图结合梅逊公式来获得传递函数。

2.7 控制系统传递函数推导举例

对这一块想了解的可以自己翻书。