整理自：http://blog.echen.me/2011/07/18/introduction-to-restricted-boltzmann-machines/

0x01 intro

假设我们让一群用户给一堆电影进行评分（满分100）。在经典的因子分析中，我们可以试着用一堆潜在因素来解释用户和因子的关系。比如，像《星球大战》和《指环王》这样的电影和科幻高度相关，而《Wall-E》和《玩具总动员》的用户可能与潜在的“皮克斯”因素有很强的联系。

限制玻尔兹曼机可以理解为是因子分析的二进制版本，比如一个电影有没有科幻/搞笑/动作元素啥的。用户的输入只是它喜不喜欢啥电影，然后输出告诉我们这个用户可能是二次元/科幻/blablabla，相当于是用特定电影的喜好与否给用户画像。

技术上理解，受限玻尔兹曼机是随机神经网络。它由两层东西构成：

• 一层可视化层（对电影的评价）
• 一层隐藏层（这个用户喜欢啥风格）

当然，隐藏层和可见层的每个神经元都有偏置项。

一个典型的例子如下所示：

（这里，右边的那个黑点子是偏置项）

0x02 工作原理

和神经网络的全连接类似，受限玻尔兹曼机的两层之间也是全连接的，但是层内的神经元是不连接的。下面，我们来介绍一下受限玻尔兹曼机的使用原理。

以上图所示，我们输入用户对六个电影的打分结果（0-100分）。然后，我以分数百分比为概率对输入进行0-1取样，比如用户给哈利波特打90分，咱们就以90%的可能性把这个点取成1，10%的可能性取成0。

对每个输入点取过样之后，我们和神经网络前向传播一样，计算一个线性组合∑wijxj+bi\sum w_{ij} x_j + b_i∑wij​xj​+bi​，这里xjx_jxj​就是我们的每个输入，bib_ibi​是输出节点的bias。

得到的线性组合扔到sigmoid函数里，得到一个0-1之间的连续值。我们再以这个值为概率做一手前面说的0-1取样。

（概括一手，如果wijw_{ij}wij​是正的，那么前后两个神经元就想共享同一个状态，比如《流浪地球》和科幻之间的wijw_{ij}wij​肯定得是个超大的正数）

0x03 学习权重

可以发现，这里对网络的输出起作用的就是权重和偏置bias了。假设我们的测试用例是1行6列的二进制向量。在每个训练epoch，做下面的操作：

1. 把测试用例扔到输入层里。
2. 正向传播，并且以sigmoid函数值对每个隐藏层神经元做取样。
3. 计算一下eije_{ij}eij​，其定义为输入层第$i$个单元和输出层第$j$个单元是否都被激活（即值为1）。都被激活则为1，否则为0.
4. 下面，我们把3中隐藏层算出的值当成隐藏层的输入，根据这个输入向可见层做一个传播，做法仍然是线性组合之后再套一个sigmoid函数，只不过和2中的方向是反的。
5. 再计算一个新的fijf_{ij}fij​，定义和3中类似。
6. 更新：wij=wij+γ(eij−fij)w_{ij} = w_{ij} + \gamma (e_{ij} – f_{ij})wij​=wij​+γ(eij​−fij​)

这个步骤叫对比散度（contrastive divergence），但是本质上还是近似梯度下降。

0x04 why?

这里就放一个直观的理解：

• eije_{ij}eij​表示的是我们希望网络学到的东西，学到哪些东西是要激活的。
• 在反向传播的阶段，RBM只是根据咱们正向传播的假设来生成可见层的值。fijf_{ij}fij​就表示没有固定输入的情况下测量网络本身生成的训练样本。

一个特殊的情况是，假设根据隐藏层构建的东西和原本输入的东西严格相等，这个时候网络就不用更新了，观察e和f，则有e和f严格相等。