常用坐标系介绍

地理坐标系 (Geographic Coordinate System, GCS)

可以说是最为广泛应用的一个地球坐标系，它给出一点的大地纬度、大地经度和大地高程而更加直观地告诉我们该点在地球中的位置，故又被称作纬经高坐标系。WGS-84坐标系的X轴指向BIH(国际时间服务机构)1984.0定义的零子午面(Greenwich)和协议地球极(CTP)赤道的交点。Z轴指向CTP方向。Y轴与X、Z轴构成右手坐标系。

一句话解释就是：把前面提到的ECEF坐标系用在GPS中，就是WGS-84坐标系。

其中：
（1）：大地纬度是过用户点P的基准椭球面法线与赤道面的夹角。纬度值在-90°到+90°之间。北半球为正，南半球为负。
（2）：大地经度是过用户点P的子午面与本初子午线之间的夹角。经度值在-180°到+180°之间。
（3）：大地高度h是过用户点P到基准椭球面的法线距离，基准椭球面以内为负，以外为正。

参考资料:地理信息系统中常用坐标系

地心地固坐标系 (ECEF)

在GPS中使用的被称为地球中心，地球固定(ECEF)。ECEF使用三维XYZ坐标(以米为单位)来描述GPS用户或卫星。“地球”这个词来自于坐标轴的原点(0,0,0)位于质心处(通过多年的跟踪卫星确定轨迹)。“地球固定”这个词意味着坐标轴相对于地球是固定的(也就是说，它们随地球旋转)。其 x 轴延伸通过本初子午线（经度 0 度）和赤道（0度纬度）。z 轴延伸穿过真正的北极（即与地球自转轴重合）。y 轴完成右手坐标系，穿过赤道和 90 度经度，如图 1所示

图1 ECEF直角坐标系

当地东、北、上 (ENU) 坐标

站心坐标系也叫东北天坐标系 ENU，用于表示以观察者为中心的其他物体
的运动规律。以站心为坐标系原点，z 轴与椭球法线重合，向上为正，y 与椭球
短半轴重合（北向），x 轴与椭球长半轴重合（东向）

基坐标相互转化

地理坐标系到地心地固坐标系 (GCS to ECEF)

这里因为地球近似为一个椭球,所以沿着椭球表面的法线方向不在 $O_{e}$ 与 $M$ 的连线方向,首先我们假设它的椭球表面的法线方向的反向延长线交 $Z$ 轴与于点 $M{'}$ ,设 $∣ P Q ∣ = N, ∣ P M ∣ = h$ , $在X_{ECEF}-_{ECEF}-_{ECEF}$ 基坐标系下,根据几何关系,M的坐标为
$((N+h)cos⁡(φ)cos⁡(λ),(N+h)cos⁡(φ)sin⁡(λ),(N+h)sin⁡(φ))−OQ)\left((N+h)\cos \left(\varphi\right) \cos (\lambda), (N+h) \cos \left(\varphi\right) \sin (\lambda), (N+h) \sin \left(\varphi\right)\right)-OQ)$

然后我们将 $M$ 点所在的子午圈椭圆投影到一个二维的平面上,如下图所示,(gps的高度h不是与地心在一条直线上)

首先设p点所在的子午圈的方程设为
$x2Re2+z2Rp2=1①\tag*{①}\frac{x^{2}}{R_{e}^{2}}+\frac{z^{2}}{R_{p}^{2}}=1$ 椭圆的扁率定义为
$f=Re−RpRef=\frac{R_{e}-R_{p}}{R_{e}}$ 椭圆的离心率定义为
$e=Re2−Rp2Re②e=\tag*{②}\frac{\sqrt{R_{e}^{2}-R_{p}^{2}}}{R_{e}}$ 由②式可得 $Rp=Re1−e2③\tag*{③}\ R_{p}=Re \sqrt{1-e^{2}}\,$
将椭圆方程①两边同时对 $xx\,$ 求导,并结合③式,可得 $2xRe2+2zdz/dxRe2(1−e2)=0\frac{2 x}{R_{e}^{2}}+\frac{2 z \mathrm{~d} z / \mathrm{d} x}{R_{e}^{2}\left(1-e^{2}\right)}=0$ 移项整理得 $dzdx=−(1−e2)xz\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-\left(1-e^{2}\right) \frac{x}{z}$ 式中 $dzdx\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 表示椭圆在P点的切线的斜率,显然切线PE $⊥\bot \,$ 法线PQ,所以 $K_{PE} K_{PQ}=-1\,$ ,因为 $P Q$ 的斜率为 $tan⁡φ\tan \varphi \,$ ,则
$dzdxtan⁡φ=−(1−e2)xztan⁡φ=−1\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \tan \varphi =-\left(1-e^{2}\right) \frac{x}{z} \tan \varphi =-1\,$
整理可得 $z=x(1−e2)tan⁡φ④\tag*{④}z=x\left(1-e^{2}\right) \tan \varphi$
结合③④带入椭圆方程①中,可得到以地理纬度 $φ\varphi \,$ 的椭圆的参数方程 $x=Re1−e2sin⁡2φcos⁡φz=Re(1−e2)1−e2sin⁡2φsin⁡φ}⑤\tag*{⑤}\left.\begin{array}{l} x=\frac{R_{e}}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}} \cos \varphi \\ z=\frac{R_{e}\left(1-e^{2}\right)}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}} \sin \varphi \end{array}\right\}$
根据子午圈投影的图可得 $x=Ncosφ⑥\tag*{⑥} x =N cos \varphi$ 将⑤中的 $xx\,$ 带入⑥式中 $=\frac{R_{e}}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}}$
因此参数方程可以简写为 $x=Ncos⁡φz=N(1−e2)sin⁡φ}⑥\tag*{⑥}\left.\begin{array}{l} x=N\cos \varphi \\ z=N\left(1-e^{2}\right) \sin \varphi \end{array}\right\}$
通过上面的椭圆参数方程⑥,结合投影到 $2 D 平面上的 Z 轴与 E C E F 的 Z 轴$ 是同一个可得 $M$ 点的坐标系 $zM=N(1−e2)sin⁡φ+hsinφ=(z_{M}=N\left(1-e^{2}\right) \sin \varphi + hsin \varphi =($ ,结合之前所说的{ECEF坐标系下 $P$ 的坐标系为 $((N+h)cos⁡(φ)cos⁡(λ),(N+h)cos⁡(φ)sin⁡(λ),(N+h)sin⁡(φ))−OQ)\left((N+h)\cos \left(\varphi\right) \cos (\lambda), (N+h) \cos \left(\varphi\right) \sin (\lambda), (N+h) \sin \left(\varphi\right)\right)-OQ)$
可以得出
$x_{M} = (N+h)cos(φ)cos(λ)$
$y_{M} = (N+h)cos(φ)sin(λ)$
$zM=(b2a2N+h)sin⁡φz_{M} =\left(\frac{b^{2}}{a^{2}} N+h\right) \sin \varphi$

附上各参数的含义
$φ=latitude\varphi = latitude$
$λ=longitude\lambda = longitude$
$h = h e i g h t a b o v e e l l i p s o i d (m e t e r s)$
$as:\frac{a}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} \varphi}}$ ,这里的a就是我们上面推导公式的 $R_{e}$ ,详细的参考 $⑥$ 下面的推导.

WGS84 Parameters
$a = 6378137$ (椭圆的长半轴)这里表示赤道椭圆的长半轴
$b = a (1 - f) = 6356752.31424518$
$=\frac{1}{298.257223563}\,$
$e=a2−b2a2e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}$ 详细含义参照②

我们把 $M$ 点放大,来说说gps的高度

高度 $\,,$ gps , $的$ altitude,(从上面图中可知gps的测量高度是GPS天线与参考椭球面的垂直距离,WGS84椭球面在世界范围内近似大地水准面),地球的长半轴 $a$ 与短半轴 $b$ 是已知的,然后地理纬度 $φ\varphi \,$ 也是已知的,所以M点在 $E C E F$ 坐标系下已知.

地心地固坐标系到东北天、站心坐标系 ECEF to ENU

这里采用几何意义的方式来讲这个转化关系,这里为了直观,我们在p点画ENU坐标系
因为 $E a s t (x L o c a l)$ 的方向与M点所在的子午线(P点子午线)垂直,所以我们首先把绕着 $Z_{ECEF}$ 旋转至 $X_{ECEF}$ 与 $E a s t (x L o c a l)$ 的方向一致① $E C E F 坐标系$ 绕着 $Z_{ECEF}$ 逆时针旋转 $(π2+λ)(\frac{π}{2} + \lambda)$ ,然后绕着 $X_{ECEF}$ 旋转至 $Z_{ECEF}$ 与 $U p (Z L o c a l)$ 方向一致②绕着 $X_{ECEF}$ 逆时针旋转 $(π2−φ)(\frac{π}{2} – \varphi)$ ③平移的部分就是之前LLA转到ECEF坐标系下的 $M$ 的坐标
$Rzecef[(π2+λ)]=(cos⁡[(π2+λ)]sin⁡[(π2+λ)]0−sin⁡[(π2+λ)]cos⁡[(π2+λ)]0001)R_{z_{ecef}}[(\frac{π}{2} + \lambda)]=\left(\begin{array}{ccc}\cos [(\frac{π}{2} + \lambda)] & \sin [(\frac{π}{2} + \lambda)] & 0 \\ -\sin [(\frac{π}{2} + \lambda)] & \cos [(\frac{π}{2} + \lambda)] & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

$Rxecef[(π2−φ)]=[1000cos⁡[(π2−φ)]sin⁡[(π2−φ)]0−sin⁡[(π2−φ)]cos⁡[(π2−φ)]]R_{x_{ecef}}[(\frac{π}{2} – \varphi)]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos [(\frac{π}{2} – \varphi)] & \sin [(\frac{π}{2} – \varphi)] \\ 0 & -\sin [(\frac{π}{2} – \varphi)] & \cos [(\frac{π}{2} – \varphi)] \end{array}\right]$

$Rxecef[(π2−φ)]Rzecef[(π2+λ)]=(−sin⁡λcos⁡λ0−cos⁡λsin⁡φ−sin⁡λsin⁡φcos⁡φcos⁡λcos⁡φsin⁡λcos⁡φsin⁡φ)R_{x_{ecef}}[(\frac{π}{2} – \varphi)] \, R_{z_{ecef}}[(\frac{π}{2} + \lambda)] = \left(\begin{array}{ccc} -\sin \lambda & \cos \lambda & 0 \\ -\cos \lambda \sin \varphi & -\sin \lambda \sin \varphi & \cos \varphi \\ \cos \lambda \cos \varphi & \sin \lambda \cos \varphi & \sin \varphi \end{array}\right)$

在车辆运动中,我们一般车辆启动假设gps天线的初始位置在 ${Xr,Yr,Zr}\left\{X_{r}, Y_{r}, Z_{r}\right\}$ ,车辆运动的位置为 ${Xp,Yp,Zp}\left\{X_{p}, Y_{p}, Z_{p}\right\}$ ,则基于启动为原点的ENU的坐标为:
$[xyz]=[−sin⁡λcos⁡λ0−cos⁡λsin⁡φ−sin⁡λsin⁡φcos⁡φcos⁡λcos⁡φsin⁡λcos⁡φsin⁡φ][Xp−XrYp−YrZp−Zr]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -\sin \lambda & \cos \lambda & 0 \\ -\cos \lambda \sin \varphi & -\sin \lambda \sin \varphi & \cos \varphi \\ \cos \lambda \cos \varphi & \sin \lambda \cos \varphi & \sin \varphi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} X_{p}-X_{r} \\ Y_{p}-Y_{r} \\ Z_{p}-Z_{r} \end{array}\right]$
这里讲的也很好