大学物理 第七章“机械波”复习笔记

一、机械波的产生与传播

1.机械波的产生

（1）条件：介质+振源

（2）分类：横波（固态介质中传播）+纵波（固液气中传播）

（3）易错点

波动过程中，各质点围绕平衡位置做简谐振动，质点不随波前进，是振动状态的传播
先振动的相位超过后震动的相位
波形曲线是波动过程中某时刻各质点离开平衡位置的真实拍照

（4）机械波的几何描述

①波面：相位相同的点连接成的平面称为波面（波阵面或者同相面）

②波线

③波前

（5）波动参量

①波长 $λ\lambda$ ：描写波在空间上的周期性

②波速 $u$ ：只与介质，温度，横纵有关（与波源无关）

③周期 $T=1vT=\frac{1}{v}$ ：波前进一个波长的距离所学要的时间

综上可知
$λ=uT\lambda=uT\\$

二、平面简谐波

1.平面简谐波的波动方程

（1）波面方程的建立：

波面上某点o的振动方程为：
$y0=Acos(ωt+φ)y_0=Acos(\omega t+\varphi)$
取o点为坐标原点

则P点的振动方程为：
$yp=Acos(ω(t−Δt)+φ)=Acos(ω(t−xu)+φ)y_p=Acos(\omega{(t-\Delta{t})+\varphi})=Acos(\omega{(t-\frac{x}{u})+\varphi})$
式中 $x$ 是代数量， $x > 0$ P点振动比o 点落后 $\Delta t $

$x < 0$ P点振动比 o点超前 $Δt\Delta t$

2.波动方程的物理意义

$yp=Acos(ω(t−Δt)+φ)=Acos(ω(t−xu)+φ)求导即可得速度方程y_p=Acos(\omega{(t-\Delta{t})+\varphi})=Acos(\omega{(t-\frac{x}{u})+\varphi})\\ 求导即可得速度方程$

此方程为坐标为 $x_0$ 的质点的振动方程

恒等式：
$λΔx=TΔt=2πΔφ\frac{\lambda}{\Delta x}=\frac{T}{\Delta t}=\frac{2\pi}{\Delta \varphi}$

三、波的能量

1.波的能量和能量密度

波函数：
$y=Acos(ω(t−xu)t+φ0)y=Acos(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$
在绳子x处，取一段长为 $Δx\Delta x$ 的线元，绳子的线密度为 $μ\mu$ ，则此线元的质量 $Δm=μΔx\Delta m=\mu \Delta x$

则线元的动能为
$Ek=12Δmv2=12μΔx(∂y∂x)2=12μΔxA2ω2sin2(ω(t−xu)t+φ0)E_k=\frac{1}{2}\Delta mv^2=\frac{1}{2}\mu \Delta x(\frac {\partial y } {\partial x })^2=\frac{1}{2}\mu \Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$
线元会发生形变，有势能：
$Ep=12μΔxA2ω2sin2(ω(t−xu)t+φ0)E_p=\frac{1}{2}\mu \Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$
所以总能量：
$E=Ep+Ek=uΔxA2ω2sin2(ω(t−xu)t+φ0)E=E_p+E_k=u \Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$
注意：

在振动过程中 $E_k,E_p$ 随着t做相同的余弦函数变化，同向变化
最大位移处，动能和势能都为0
平衡位置处，动能和势能都为最大值

2.比较振动和波动的不同

振动
- 密闭系统，总能量不变， $E_p和E_k$ 相互转换，和始终为 $12kA2\frac{1}{2}kA^2$
- $E_k$ 最大时， $E_p$ 最小，反之一样
波动
- 开放系统，有能量的吸收和传递
- 能量是周期函数 $\Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$

3.关于波的能量的几个名词

（1）能量密度

单位体积中波的能量
$w=WΔV=ρA2ω2sin2(ω(t−xu)t+φ0)w=\frac{W}{\Delta V}=\rho A^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$
其中 $ρ\rho$ 为单位体积的质量

（2）平均能量密度

$w′=12ρA2ω2w'=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2$

可见 $I∝A^2$ 具有普遍意义

（3）波的强度（平均能流密度）

$I=uw′=12ρA2ω2uI=uw'=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u$

4.平面波和球面波的振幅

平面波在均匀介质中传播， $A$ 不变
球面波在均匀介质中传播，A和传播的距离r成反比
$A_1r_1=A_2r_2$

四、惠更斯原理

1.内容

行进中，波面上的任意一点可以看做新的子波源
所有子波源各自向外发出许多子波
各个子波形成的包络面，就是原波面在一定时间传播到的新波面

2.说明

解释了衍射，反射，折射
未涉及振幅相位变化规律

五、波的干涉

1.相干条件

同频率，同振向，恒定相位差

2.分析相干现象的原因

$A=A12+A22+2A1A2cosΔφA=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos\Delta \varphi$

上式中的A为合成振动的振幅， $Δφ\Delta\varphi$ 为两波的相位差，从而易知：
$Δφ={2kπ（振动加强）(2k+1)π（振动减弱）\Delta\varphi=\begin{cases} 2k\pi（振动加强）\\ (2k+1)\pi（振动减弱）\\ \end{cases}$
并且，加强处永远加强，减弱处永远减弱

若 $φ1=φ2\varphi_1=\varphi_2$ 则上述相干条件化为
$δ=r2−r1={±kλ，干涉加强，干涉相长{A=2A0I=4I0±(2k+1)λ，干涉减弱，干涉相消{A=0I=0\delta=r_2-r_1=\begin{cases} ±k\lambda，干涉加强，干涉相长\begin{cases} A=2A_0\\ I=4I_0\\ \end{cases}\\ ±(2k+1)\lambda，干涉减弱，干涉相消\begin{cases} A=0\\ I=0\\ \end{cases}\\ \end{cases}$

六、驻波

1.形成驻波的条件

两列相干波：同振幅A，传播方向相反（叠加形成驻波）

相干波：同频，同振向，恒定相位差

2.驻波方程

（1）驻波方程

两列波在t=0处的波形重合；选取二列波使该点的振动具有相同的相位 $φ=0\varphi=0$ 处为原点

则，左右行波的方程为：
$y1=Acos(ωt−2πxλ)y2=Acos(ωt+2πxλ)y_1=Acos(\omega t-2\pi\frac{x}{\lambda})\\ y_2=Acos(\omega t+2\pi\frac{x}{\lambda})$
代数和:
$y=y1+y2=2Acos2πxλcosωt，驻波的波动方程y=y_1+y_2=2Acos2\pi\frac{x}{\lambda}cos\omega t，驻波的波动方程$
余弦函数的最大值:
$2Acosωt02Acos\omega t_0$
随着时间t变化

（2）固定一个点 $x=x_0$ ，即得到 $x_0$ 点的振动方程

$y=2Acos2πx0λcosωty=2Acos2\pi\frac{x_0}{\lambda}cos\omega t$

可知，振幅是x的函数，在波动的一个周期内引起各点的振幅不同，但是同时到达最大振幅处

振动加强处：振幅为2A
振动减弱处：振幅为0

（3）腹点与节点

腹点
$∣cos2πxλ∣=1⇒2πxλ=kπ⇒x=kλ2k=0,±1,…相邻腹点之间间隔λ2|cos2\pi\frac{x}{\lambda}|=1\Rightarrow 2\pi\frac{x}{\lambda}=k\pi\\ \Rightarrow x=k\frac{\lambda}{2}\\ k=0,±1,… 相邻腹点之间间隔\frac{\lambda}{2}$
节点
$∣cos2πxλ∣=0⇒2πxλ=(2k+1)π2⇒x=(2k+1)λ4k=0,±1,….相邻节点之间相距λ2|cos2\pi\frac{x}{\lambda}|=0\Rightarrow 2\pi\frac{x}{\lambda}=(2k+1)\frac{\pi}{2}\\ \Rightarrow x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}\\ k=0,±1,….相邻节点之间相距\frac{\lambda}{2}$
相邻腹点，节点之间的距离为 $λ4\frac{\lambda}{4}$
各质点的相位特点
- 同一段有相同相位
- 相邻段的相位相反
驻波的能量：不向前传，只是在波节和波腹之间进行动能势能的相互转换

3.半波损失

（1）发生条件：

波疏介质传播到波密介质，在反射点发生半波损失，反射点称为节点

（2）半波损失的描述

1°波从波疏介质进入波密介质再反回波疏介质，反射点必有半波损失

2°波在反射点发生相位突变，反射点必有半波损失

3°反射点为固定点（或节点），反射点必有半波损失

（3）注意：

若发生半波损失，记得将波程差加上 $λ2\frac{\lambda}{2}$ ，或者相位加上 $π\pi$

七、多普勒效应

1.多普勒效应的概念

设s为振源，O为观测点，有如下的结论：
$o向着s运动：ν=u+vouν0o远离s运动：ν=u−v0uν0s向着o运动：ν=uu−vsν0s远离o运动：ν=uu+vsν0o向着s运动：\nu=\frac{u+v_o}{u}\nu_0\\ o远离s运动：\nu=\frac{u-v_0}{u}\nu_0\\ s向着o运动：\nu=\frac{u}{u-v_s}\nu_0\\ s远离o运动：\nu=\frac{u}{u+v_s}\nu_0\\$