酉矩阵Unitary matrix

复数域的“正交矩阵”就是酉矩阵。酉矩阵的列向量组为一组标准正交基，因而
酉矩阵$U$满足UHU=UUH=IU^HU=UU^H=IUHU=UUH=I

酉矩阵出现于许多分解中：
SVD（A=UΣVHA=U\Sigma V^HA=UΣVH）、矩阵三角化的 Schur 定理（A=A=UTUHA= A=UTU^HA=A=UTUH，$T$为上三角阵）、正规矩阵的酉对角化（A=UΛUHA=U\Lambda U^HA=UΛUH）

酉矩阵的几何意义：旋转与镜射

一般而言，我们简单认为酉矩阵对应旋转变换；
但是实际上，旋转这个说法不是非常准确，前提是正交矩阵$Q$的行向量必须适当排序 ，否则也可能包含镜像变换

酉矩阵的几何意义有两种：旋转 和 镜射

例如2维空间中的两个正交矩阵是：
Q1=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]Q_{1}=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]Q1​=[cosθsinθ​−sinθcosθ​] 和 Q2=[−sin⁡θcos⁡θcos⁡θsin⁡θ]Q_{2}=\left[\begin{array}{cc} -\sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{array}\right]Q2​=[−sinθcosθ​cosθsinθ​]

其中，Q1Q_1Q1​对应旋转变换，而Q2=Q1[0110]Q_{2}=Q_{1}\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]Q2​=Q1​[01​10​]则是旋转变换+镜像变换（将x/y轴对调，相当于关于直线y=x的镜像反射）

详见 旋转与镜射

酉矩阵的性质

酉变换几何意义是旋转，由此立即可知：

• 酉变换保证长度不变：$\Vert U\mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$
  酉变换保证向量夹角不变：(Ux)H(Uy)=xHy(U\mathbf{x})^H(U\mathbf{y})=\mathbf{x}^H\mathbf{y}(Ux)H(Uy)=xHy
• 酉矩阵特征值的模为1，即$|\lambda |=1$
  证明：$\Vert \lambda \mathbf{x}\Vert =\Vert U\mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$，即$|\lambda |\Vert \mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$

特征值与行列式：

• 酉矩阵行列式的模为1，即$|\det U|=1$
  证明：∣det⁡U∣=∣λ1⋯λn∣=∣λ1∣⋯∣λn∣=1\vert\det U\vert=\vert \lambda_1\cdots\lambda_n\vert=\vert\lambda_1\vert\cdots\vert\lambda_n\vert=1∣detU∣=∣λ1​⋯λn​∣=∣λ1​∣⋯∣λn​∣=1
• 进一步，对于实正交矩阵$Q$，$\det Q=\pm 1$
  $\det Q=1$称为适当的（proper） 的正交矩阵；$\det Q=-1$称为不适当的正交矩阵

例如下面两种实正交矩阵：
逆时针旋转$\theta$角度的旋转矩阵R(θ)=[⁣ ⁣sin⁡θ−cos⁡θcos⁡θsin⁡θ⁣ ⁣]R(\theta)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \sin\theta&-\cos\theta\\ \cos\theta&\sin\theta \end{array}\!\!\right]R(θ)=[sinθcosθ​−cosθsinθ​]满足$\det R(\theta )=1$，这是适当的正交矩阵
平面上以 [cos⁡ϕsin⁡ϕ]\begin{bmatrix} \cos\phi\\ \sin\phi \end{bmatrix}[cosϕsinϕ​] 为镜射轴的镜射矩阵F(ϕ)=[⁣ ⁣cos⁡2ϕsin2ϕsin⁡2ϕ−cos⁡2ϕ⁣ ⁣]F(\phi)=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\ sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]F(ϕ)=[cos2ϕsin2ϕ​ sin2ϕ−cos2ϕ​]满足$\det F(\theta )=-1$，这是不适当的正交矩阵
详见 旋转与镜射

• 最后，酉矩阵（属于正规矩阵）可以酉对角化U=VDVHU=VDV^HU=VDVH（一套正交的特征向量）

酉矩阵的判别

$A$是酉矩阵的充要条件：

• 所有特征值满足$|\lambda |=1$，且最大奇异值σmax⁡≤1\sigma_{\max}\le 1σmax​≤1
  （σmax⁡≤1\sigma_{\max}\le 1σmax​≤1的等价表述：①$A$的算子2范数∥A∥2=max⁡∥x∥≠0∥Ax∥∥x∥=σmax⁡≤1\displaystyle \Vert A\Vert_2=\max_{\Vert\mathbf{x}\Vert\neq\mathbf{0}}\frac{\Vert A\mathbf{x}\Vert}{\Vert\mathbf{x}\Vert}=\sigma_{\max}\le 1∥A∥2​=∥x∥=0max​∥x∥∥Ax∥​=σmax​≤1；②对于任意向量$\mathbf{x}$有$\Vert A\mathbf{x}\Vert \le \Vert \mathbf{x}\Vert$）

证明：
$A$的SVD为A=UΣVHA=U\Sigma V^HA=UΣVH，则det⁡(AHA)=det⁡(ΣHΣ)=σ12⋯σn2\det(A^H A)=\det(\Sigma^H\Sigma)=\sigma_1^2\cdots\sigma_n^2det(AHA)=det(ΣHΣ)=σ12​⋯σn2​
又因为有恒等式det⁡(AHA)=∣det⁡A∣2\det(A^H A)=\vert\det A\vert^2det(AHA)=∣detA∣2（原因：det⁡(AHA)=(det⁡AT‾)(det⁡A)=(det⁡AT‾)(det⁡A)=(det⁡A‾)(det⁡A)=∣det⁡A∣2\det(A^HA)=(\det \overline{A^T})(\det A)=(\overline{\det A^T})(\det A)=(\overline{\det A})(\det A)=\vert\det A\vert^2det(AHA)=(detAT)(detA)=(detAT)(detA)=(detA)(detA)=∣detA∣2）
故det⁡(AHA)=σ12⋯σn2=∣det⁡A∣2=∣λ1⋯λn∣2\det(A^H A)=\sigma_1^2\cdots\sigma_n^2=\vert\det A\vert^2=|\lambda_1\cdots\lambda_n|^2det(AHA)=σ12​⋯σn2​=∣detA∣2=∣λ1​⋯λn​∣2
故σ1⋯σn=∣λ1⋯λn∣=∣λ1∣⋯∣λn∣=1\sigma_1\cdots\sigma_n=\vert \lambda_1\cdots\lambda_n\vert=\vert\lambda_1\vert\cdots\vert\lambda_n\vert=1σ1​⋯σn​=∣λ1​⋯λn​∣=∣λ1​∣⋯∣λn​∣=1，又因为σmax⁡≤1\sigma_{\max}\le 1σmax​≤1，可知σ1=⋯=σn=1\sigma_1=\cdots=\sigma_n=1σ1​=⋯=σn​=1
最终A=UΣVH=UIVH=UVHA=U\Sigma V^H=UIV^H=UV^HA=UΣVH=UIVH=UVH，即知AHA=IA^HA=IAHA=I，$A$ 是酉矩阵

reference：
特殊矩阵 （3）：么正矩阵 （酉矩阵）
旋转与镜射