欧拉：他停止了生命和计算

一小国里出现的巨匠

在一个小国家里诞生一位科学巨匠，这在世界史上并不多见，瑞士数学家、物理学家莱昂纳尔·欧拉便是其中最出色的一位。虽然他成年以后一直生活在两座遥远的异国城市——彼得堡和柏林，他的肖像画却出现在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍流通欧洲的纸币上仅有的两位大科学家。1707年4月15日，欧拉出生在瑞士西北部邻近法国和德国的巴塞尔，这座通用德语的城市至今人口仍不足二十万，却拥有瑞士最古老的学府——巴塞尔大学（1460），莱茵河蜿蜒着穿过它的中心。德国哲学家尼采年轻时曾在巴塞尔大学担任过十年的古典文献学教授，在那里完成了他的代表作《悲剧的诞生》，并与在近郊安度晚年的音乐家瓦格纳成为莫逆之交。

让我们先把时光推进到欧拉二十岁那年，即1727年。对欧拉来说，这是一个关键性的年份，那一年牛顿在伦敦去世，那一年欧拉开始了学术生涯，他首次参加了巴黎科学院的有奖竞赛——在船上安置桅杆。这一传统的竞赛活动起始于1721年，吸引并激励了欧洲各国难以计数的年轻人，它对科学的贡献超过了诺贝尔奖的设立。不幸而又幸运的是，欧拉落选了，加上此后求职母校未果，当年他便动身去了俄国，受聘于彼得堡科学院。可是，就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天（5月17日），这个国家的女皇叶卡捷琳娜一世去世了。作为俄国最伟大的君王——彼得大帝的情妇和妻子，这位出身卑微的立陶宛女子在许多方面都表现得非常开明，在她仅仅两年多的在位时间里，实现了丈夫建立科学院的愿望。

牧师家庭出身的欧拉之所以选择后来的科学道路，不能不说是与当地一个姓贝努利的数学世家有关。贝努利家族原先居住在比利时的港口城市安特卫普（当时隶属荷兰），因为遭受宗教迫害而于16世纪末逃难到内陆的法兰克福，尔后又迁至瑞士，在巴塞尔安顿下来。这个家族的三代人中出现了八位极有成就的数学家，其中最年长的一位雅各布在巴塞尔大学做了数学教授，并成为欧拉父亲的老师。尽管老欧拉颇具数学才华，却差点犯下一个错误，在教会儿子数学的同时又要求他继承自己乡村牧师的职位。事实上，在那个年代里对非显贵家庭出身的西方年轻人来说，牧师、医生和律师不失为安身立命的三个好职业。

于是小欧拉进了巴塞尔大学学习神学和希伯来语，但他的数学才能很快引起了雅各布的弟弟约翰的注意。约翰在雅各布去世后继承了兄长的职位，他的两个儿子尼古拉和丹尼尔也与欧拉结为挚友（兄弟俩均为数学家）。十七岁那年，欧拉获得哲学硕士学位，同时也面临对未来职业的抉择。老欧拉仍固执己见，幸亏诸位贝努利前辈的热情劝告和担保，做父亲的才最后放弃自己的主张，数学王国里才不至于失去这样一位伟大的创造者。尼古拉和丹尼尔后来应聘到新成立的彼得堡科学院，正是在他们兄弟的举荐之下，欧拉告别了父老乡亲，从此踏上了不归的数学之路。虽然欧拉没有做成牧师，但父亲笃信的加尔文教赋予了他一颗温厚、仁慈之心，他毕生为人都十分谦逊。

欧拉被公认为是纯粹数学的奠基人之一，也是历史上最卓越、最多产的科学家之一，被同代数学家视为“分析的化身”，此外他在数论、几何学、拓扑学、力学诸方面均有重大的原创性贡献，并把成果广泛应用到物理学和工程技术领域。在我看来，欧拉的一个无与伦比的优点在于他的精细和耐心，这使得以他名字命名的数学发现无处不在，并且总是处在各个领域引人瞩目的位置，例如欧拉函数和欧拉定理（数论）、欧拉常数（微积分）、欧拉公式（复变函数）、欧拉线和欧拉圆（几何学）、欧拉图（图论）、欧拉示性数（拓扑学）、欧拉角（动力学）、欧拉方程式（流体力学），等等。

虽然欧拉从没担任过教职，却是一位出色的教科书作者，他撰写的《无限小分析引论》《微分学原理》和《积分学原理》均是数学史上里程碑式的著作，其中包含了他本人的大量创造，在很长时间里它们被当作分析课本的典范。此外，欧拉还为俄国编写了初等数学教程，帮助改革度量衡制度，设计计算税率、年金和养老保险等的公式。欧拉也是对数学符号系统贡献最大的数学家之一，这项工作的意义极其重要，却往往容易被人们忽视。欧拉率先用f(x)表示函数，e表示自然对数的底，i表示虚数，s表示三角形的周长，a、b、c表示三角形的边，π表示圆周率，Σ表示求和，正弦sin、余弦cos和正切tg也是欧拉引入的，这些符号沿用至今并为世人熟知。

二与女皇和国王相处

正如拿破仑是结交数学家最多的君王，与君王打交道最多的数学家是欧拉。直到18世纪，欧洲的大学依然不是主要的学术研究中心，不过比起物理学等近代科学分支来，数学因为与古典传统较为接近而受到重视。可是，尽管微积分学诞生已经一个世纪，但大学教授的主要精力仍在对付初等数学，他们很少花精力做前沿研究。与17世纪法国那些伟大的业余爱好者不同，真正的学者有了自己的靠山和赞助人，那便是专业的科学研究机构。由于莱布尼茨的大力倡导，在有远见的统治者的支持下，柏林科学院和彼得堡科学院相继成立，加上此前成立的意大利（山猫）科学院、英国皇家学会和法国皇家科学院（梅森学院），数学史上最活跃的时期已经来临。

可是，欧拉初到彼得堡的日子，处境十分艰难。叶卡捷琳娜一世死后，权力旁落到一伙粗鲁残暴的家伙手里，甚至年幼的沙皇也在能够行使自己的职权以前死去。那些当权者把科学院及其研究者看成是可有可无的摆设，他们甚至考虑取消它，遣返所有的外籍人员。也算是不幸中的大幸，贝努利兄弟原先推荐欧拉去的是医学部，因为只有那儿有空缺，为此他突击学习了生理学并在巴塞尔大学旁听了医学讲座。科学院混乱的管理正好给了欧拉机会，他偷偷溜进了数学部。那以后的六年时间里，欧拉埋头于自己的研究，完全沉浸在数学王国，直到他的引路人之一丹尼尔·贝努利（尼古拉·贝努利在欧拉抵达前一年溺水身亡）决定离开俄国，返回自己的祖国。

在丹尼尔回到瑞士以后，欧拉接替了他在彼得堡科学院的数学教授职位，那年欧拉二十六岁，准备在俄罗斯安家了，新娘是彼得大帝西游时带回来的画师的女儿，也是欧拉的瑞士同胞。那时俄国早有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊万诺夫娜。虽说在安娜的情夫的间接统治下俄罗斯经受了历史上最血腥的恐怖时期，但科学院的境况并没有变得更糟，欧拉这样的数学家对当权者无害。欧拉喜欢孩子，他的两任妻子（第二个妻子是第一个妻子的同父异母的妹妹）先后生下了十三个孩子。欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏，他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。

1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。传说王太后很喜欢老实持重的欧拉，有一次她故意逗他说话，但是欧拉的回答总是很简洁，“是”或者“不是”。“为什么你不愿意跟我多说话呢？”太后问。“太后，我刚从那样一个国家来，在那里你要是说多话，就会被吊死。”相比之下，欧拉与普鲁士国王相处并不愉快，因为国王喜欢溜须拍马的大臣。他之所以支持数学只是感到那是一种责任，但他从内心里讨厌这门学问，因为他自己的数学很蹩脚，这方面他无法与法兰西皇帝拿破仑相比，后者自称是个几何学家，并与同时代所有的巴黎数学家都交上了朋友。

在很多时候，欧拉代理柏林科学院院长的职务。他在柏林不受欢迎的另一个原因是，他对腓特烈大帝津津乐道的哲学问题一无所知。有一次，法国启蒙主义思想家伏尔泰来访，在竭尽所能取悦了一番国王之后，他又以一套近乎玄学的语汇拿欧拉逗乐。忠厚老实的欧拉耐着性子接受了这一切，但国王却感觉自己丢了面子，他决心物色一位能说会道的数学家来领导他的科学院，结果法国人达朗贝尔被邀请到了柏林。比欧拉年轻十岁的达朗贝尔是偏微分方程的开拓者，他最早写出了动力学原理的著作。此外，他又是著名的《百科全书，或科学、艺术和工艺详解词典》的副主编（主编是哲学家狄德罗）。显而易见，这样一位全才的人物足以让腓特烈大帝的虚荣心得到满足，没想到的是，达朗贝尔却是一位头脑清醒、判断力精确的人，虽然他和欧拉在学术上有过一些不快。这位法国客人十分坦率地告诉普鲁士国王，把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是，这不仅没有让自负的国王改变对欧拉的看法，反而变本加厉使得欧拉更难以忍受。为了自己子女的前途，欧拉只好打点行装，离开了生活了二十五年之久的柏林，再次回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和儿孙们也一同返回。

此时俄罗斯又有了一位新女皇，即叶卡捷琳娜二世，她本是德意志亲王的女儿，因为嫁给彼得大帝的外孙来到俄国，有机会接近并攫取王位。叶卡捷琳娜二世在位的三十四年里，继承了彼得大帝未竟的事业，领导俄国全面参与欧洲的政治和文化生活，制订法典并厉行改革，同时夺取了波兰和克里米亚的大部分领土，故又被称作叶卡捷琳娜大帝。在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家十八人居住的大房子和成套的家具，并?去自己的一个厨子。恼羞成怒的普鲁士国王只得写信给法国数学家拉格朗日：“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。”显而易见，他对欧拉的离任耿耿于怀。

有一件事可以说明叶卡捷琳娜二世与腓特烈大帝的行事风格截然有别。她曾经邀请法国哲学家狄德罗来访，就是那套著名的《百科全书》的主编先生。本来彼得堡就是彼得大帝仿巴黎建造起来的，俄罗斯人一直对法国文化非常推崇。没想到狄德罗为了表明自己被邀请是非常值得的，努力说服在场的大臣们改信无神论，这下子可惹恼了女皇，她命令欧拉用法语让这位只会空谈的哲学家闭嘴。欧拉径直朝狄德罗走去，以一种极为平稳认真的语调说：“先生，因为（a+b^n）/n=x，故而上帝是存在的！”因为心比天高而拒绝上大学的狄德罗对数学可是一窍不通，他听了以后不知所措，周围的大臣们报之以热烈的笑声。可怜的哲学家感到自己受到了羞辱，他请求女皇准许他立刻回国，女皇神态自若地同意了。

三孜孜不倦的失明者

在人类文明史上，不乏失明的歌唱者，从古代希腊的荷马到中世纪波斯的鲁达基，从近代英国的弥尔顿到上世纪阿根廷的博尔赫斯。可是，在科学家中这类人物极为罕见。如同创作不朽旋律的贝多芬双耳先后失聪一样，从事数学研究的欧拉也在晚年双目失明，但这丝毫不减少他们的创造力。贝多芬一生写作了九部交响曲、五部钢琴协奏曲、十部钢琴和小提琴协奏曲，还有难以计数的钢琴奏鸣曲、弦乐四重奏、声乐和歌剧作品。而欧拉完成了八百多篇（部）论文和著作，其中百分之五十八是数学方面的，物理学-力学和天文学各占了百分之二十八和百分之十一，其余百分之三是关于航海学和建筑学。从1907年欧拉诞辰二百周年开始，瑞士政府着令有关部门编辑《欧拉全集》，那是七十二卷大四开本的巨著，至今尚未完成。

必须指出的是，欧拉的失明并非由于家族的遗传。第一次灾难降临时欧拉只有二十八岁，为了赢得一项天文学的巴黎大奖，他连续工作了三天三夜，把这个难题给解决了，而当时其他几位主要数学家都认为那需要数个月的时间。结果引发了一场疾病，欧拉从此失去了右眼的视力，这一点我们从他本人留下来的几幅肖像画中也可以看出。欧拉的左眼患上白内障是在他第二次居留俄国期间，那时他快六十岁了。虽然欧拉的通信者如法国数学家拉格朗日、达朗贝尔等表示了深深的忧虑，他本人倒是能够泰然处之。在完全失明之前，他努力尝试用粉笔把公式写在大石板上，然后让儿子或秘书抄下来，他自己再口述对公式的说明和其他文字。这样一来，他写作论文的效率非但未有降低，反而提高了。

与许多失明者一样，欧拉有着非凡的记忆力。除了几乎把那个时代的全部数学结果铭记于心以外，他还长于心算。更让人不可思议的是，欧拉能背出古罗马大诗人维吉尔的十二卷史诗《埃涅阿斯纪》每一页的首句和末句。这部史诗描述了特洛伊沦陷以后王子埃涅阿斯历尽艰辛，在异国他乡（罗马）重新建立居留地的故事，其优美智慧的诗句、结构和韵律达到了尽善尽美的地步，以至于但丁在《神曲》里让维吉尔引领他到达天堂。或许，欧拉从中获得了某种共鸣，他的数学发明总是以优美的形式出现。晚年当被友人问起在哪个地方度过的时光最美好时，他不假思索地回答说是彼得堡。在欧拉完全失明的十七年间，最让他得意的工作是发现月球的运动规律，那曾是唯一使牛顿头痛的问题，被欧拉通过复杂的分析和心算推导出来了。

在欧拉生活的年代，尚未有专门刊载数学论文的期刊。但在伦敦《皇家学会哲学纪要》和《法国科学院纪要》创刊半个多世纪之后，《彼得堡科学院通讯》和《柏林科学院纪要》也相继诞生。后两种杂志的问世当然与欧拉有关，他本人也是主要作者之一。传说欧拉在家人两次叫他吃饭的半小时里，就能够写成一篇论文。而对一般的研究者来说，这么短的时间至多只能推导出一个定理。欧拉从不为投稿费神，写完一篇论文后，他就把它放在一堆不断增高的文章的最上头。当院报需要时，编辑便从那最上头取走一篇或两篇论文。于是经常出现这样的情况，论文的写作和发表日期并不一致。更为有趣的是，由于欧拉每每围绕着一个问题写出系列文章，这样一来，读者在阅读他的论文时有时会摸不着头脑。

除了失明以外，欧拉一生还遭遇了许多不幸：八个孩子先后夭折；晚年的一场大火几乎夺走了他的生命和手稿，幸亏瑞士仆人的奋力抢救，但他的房子连同藏书全被烧毁了。叶卡捷琳娜二世获悉后马上补偿了全部经济损失，欧拉重又投入了工作。值得一提的是，在安娜和叶卡捷琳娜二世之间，俄国还有一位女皇伊丽莎白，那便是彼得大帝的女儿。她在位的二十年间，欧拉一直生活在柏林，尽管如此，俄国方面照付给他院士津贴。也是在她在位期间，彼得堡科学院第一次有了本国院士——科学家兼诗人罗蒙诺索夫。有一年，俄罗斯军队入侵柏林远郊，欧拉的农场遭到了抢劫，女皇知道后加倍赔偿了他的损失。可以说，欧拉的一生得到了俄国四位女皇的垂青。

1783年9月18日，一个晴朗的秋日下午，欧拉像往常一样在石板上写着什么，那可能是在计算气球上升的轨迹。然后，他和家人一起吃晚饭，谈论着新近发现的天王星。那会儿，在德国中北部的不伦瑞克，一座离柏林不到两百公里的小城里，园丁的儿子高斯已年满六岁，充分显露出了数学神童的天赋。晚餐后，欧拉一边喝着茶，一边和小孙女玩耍，突然之间，烟斗从他手中掉了下来。他说了一句“我死了”，随即欧拉“停止了生命和计算”。后面这句经常被数学史家引用的话出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口，他是大革命时期的急先锋，后来不幸死于狱中。不知为何，这句话使我联想起欧拉喜爱的维?尔的诗句：“锚抛下去，飞泿的船停住了。”

每个人都有时代的局限性，在欧拉研究过的诸多难题中，有的尚未完全解决，例如天文学中的三体问题，即太阳、地球和月亮在相互引力下如何运动的问题，这个问题至今仍然存在。由于欧拉涉足的研究范围十分广泛，即使在他为之倾心的数学领域，仍有许多未解决的问题：例如毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题，这方面以欧拉的贡献最大；再如费尔马大定理，欧拉也有出色的贡献，但最终的解答由英国数学家怀尔斯在上个世纪末给出；又如哥德巴赫猜想，是欧拉和数学家哥德巴赫通信时提出来的，至今未有证实或否定——哥德巴赫的故乡在普鲁士的哥尼斯堡，诞生于这座城市的“七桥问题”是拓扑学的出发点，而把这个世俗问题抽象到数学高度并予以解决的正是欧拉。

确切地说，欧拉是历史上最著名的宫廷数学家，他毕生往返于两个敌对的国度——俄罗斯和德意志之间，侍奉不同的国王和皇后。一次，腓特烈大帝命令欧拉给他的侄女授课，他便动笔写下了一系列文笔优美的散文，后来变成畅销数十个国家的《给一位德国公主的信》，这是出自科学家手笔的科普著作的早期范本。尽管如此，由于欧拉既不像前辈牛顿那样建立起一门新科学（微积分学）和完整的力学体系，也不像后来的高斯那样建立起一个数学学派（哥廷根学派），加上他来自小国家，他的公众知名度并不特别高。有许多时候欧拉以一种谦逊之心默默做着别的大数学家不愿意做的工作，如同欧拉早年的导师约翰·贝努利给他信中所写的：“我在教高等分析的时候，它还是个孩子，而您正在将它带大成人。”

谈到18世纪的数学家，尽管法国人更愿意抬高自己的同胞拉格朗日，欧拉仍被更多的同行推崇为最有成就的一位。还有不少数学史家把欧拉与阿基米得、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家。他们拥有一个共同点，即在创建纯粹理论的同时，还把自己发明的数学工具用以解决大量天文、物理和力学问题。他们不断地从实践中吸取营养，同时又绝不满足于解决具体问题；他们把宇宙看成是一个有机的整体，力图揭示出它的内在奥秘和规律。有着“法兰西的牛顿”之誉的拉普拉斯赞叹道：“学习欧拉吧，他是我们所有人的老师。”“数学王子”高斯也曾经说过：“对于欧拉工作的研究，将仍旧是数学人能上的最好的无可替代的学校。”从某种意义上讲，自从欧拉去世以后，数学再也不像从前那样美好了。

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来源 | 《数学传奇：那些难以企及的人物》