文章目录

• FIR滤波器
• 线性相位FIR滤波器的条件及特点
• • 线性相位FIR滤波器
  • 线性相位条件
  • 线性相位FIR滤波器幅度特性
  • • 类型1：h(n)=h(N-n-1)，N=奇数
    • 类型2：h(n)=h(N-n-1)，N=偶数
    • 类型3：h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数
    • 类型4：h(n)=-h(N-n-1)，N=偶数
    • 奇偶对称的单位脉冲响应
• FIR滤波器的窗函数设计法
• • 窗函数设计法的原理
  • 典型窗函数及其特性
  • 窗函数法设计FIR滤波器步骤
• FIR滤波器的频率采样设计法
• • 频率采样法的原理

FIR滤波器

滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长序列，N-1阶FIR数字滤波器的系统函数为:
H(z)=∑n=0N−1h(n)z−nH(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n} H(z)=n=0∑N−1​h(n)z−n
稳定和线性相位特性是FIR滤波器最突出的优点

线性相位FIR滤波器的条件及特点

线性相位FIR滤波器

对于长度为N的h(n)，频率响应函数为：
H(ejω)=∑n=0N−1h(n)e−jωn=Hg(ω)ejθ(ω)H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}=H_g(\omega)e^{j\theta(\omega)} H(ejω)=n=0∑N−1​h(n)e−jωn=Hg​(ω)ejθ(ω)
式中，Hg(ω)H_g(\omega)Hg​(ω)为幅度特性，为$\omega$的实函数，可能取负值，不同于∣H(ejω)∣|H(e^{j\omega})|∣H(ejω)∣(只为正值)；$\theta (\omega )$为相位特性

线性相位条件

H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)线性相位是指$\theta (\omega )$是$\omega$的线性函数，即
$$\theta (\omega )=-\tau \omega ,\tau 为常数，该式属于严格线性相位(第一类线性相位)$$
但是，如果$\theta (\omega )$满足下式：
θ(ω)=θ0−τω,θ0是初始相位，该式属于广义线性相位(第二类线性相位)\theta(\omega)=\theta_0-\tau\omega,\theta_0是初始相位，该式属于广义线性相位(第二类线性相位) θ(ω)=θ0​−τω,θ0​是初始相位，该式属于广义线性相位(第二类线性相位)
严格地说，此时$\theta (\omega )$不具有线性相位

但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即:−dθ(ω)dω=τ-\frac{d\theta(\omega)}{d\omega}=\tau−dωdθ(ω)​=τ

为了使滤波器对实信号的处理结果仍然是实信号，一般要求h(n)为实序列：

• 满足第一类线性相位的时域约束条件是：h(n)是实序列，且对(N-1)/2偶对称，即：$\tau =(N-1)/2,h(n)=h(N-n-1)$
• 满足第二类线性相位的时域约束条件是：h(n)是实序列，且对(N-1)/2奇对称，即：$\tau =(N-1)/2,h(n)=-h(N-n-1)$

线性相位FIR滤波器幅度特性

当N取奇数和偶数时，对Hg(ω)H_g(\omega)Hg​(ω)的约束不同，因此，对于两类线性相位特性，分四种情况讨论其幅度特性的特点

类型1：h(n)=h(N-n-1)，N=奇数

推导其频率响应：

令m=N-1-n，有：
H(ejω)=∑n=0(N−3)/2h(n)e−jωn+h(N−12)⋅e−j(N−1)ω/2+∑m=0(N−3)/2h(N−1−m)e−j(N−1−m)ωH(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{(N-3)/2}h(n)e^{-j\omega n}+h(\frac{N-1}2)\cdot e^{-j(N-1)\omega/2}+\sum_{m=0}^{(N-3)/2}h(N-1-m)e^{-j(N-1-m)\omega} H(ejω)=n=0∑(N−3)/2​h(n)e−jωn+h(2N−1​)⋅e−j(N−1)ω/2+m=0∑(N−3)/2​h(N−1−m)e−j(N−1−m)ω
利用h(n)的对称性：h(N-1-m)=h(m)，并提取e−j(N−1)ω/2e^{-j(N-1)\omega /2}e−j(N−1)ω/2项
H(ejω)=∑n=0(N−3)/2h(n)e−jωn+h(N−12)⋅e−j(N−1)ω/2+∑m=0(N−3)/2h(N−1−m)e−j(N−1−m)ω=e−j(N−1)ω/2[∑m=0(N−3)/2h(m)e−jωmej(N−1)ω/2+∑m=0(N−3)/2h(m)ejωme−j(N−1)ω/2+h(N−12)]=e−j(N−1)ω/2[2∑m=0(N−3)/2h(m)cos[(N−12−m)ω]+h(N−12)]H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{(N-3)/2}h(n)e^{-j\omega n}+h(\frac{N-1}2)\cdot e^{-j(N-1)\omega/2}+\sum_{m=0}^{(N-3)/2}h(N-1-m)e^{-j(N-1-m)\omega}\\ =e^{-j(N-1)\omega /2}[\sum_{m=0}^{(N-3)/2}h(m)e^{-j\omega m}e^{j(N-1)\omega/2}+\sum_{m=0}^{(N-3)/2}h(m)e^{j\omega m}e^{-j(N-1)\omega/2}+h(\frac{N-1}2)]\\ =e^{-j(N-1)\omega /2}[2\sum_{m=0}^{(N-3)/2}h(m)cos[(\frac{N-1}2-m)\omega]+h(\frac{N-1}2)] H(ejω)=n=0∑(N−3)/2​h(n)e−jωn+h(2N−1​)⋅e−j(N−1)ω/2+m=0∑(N−3)/2​h(N−1−m)e−j(N−1−m)ω=e−j(N−1)ω/2[m=0∑(N−3)/2​h(m)e−jωmej(N−1)ω/2+m=0∑(N−3)/2​h(m)ejωme−j(N−1)ω/2+h(2N−1​)]=e−j(N−1)ω/2[2m=0∑(N−3)/2​h(m)cos[(2N−1​−m)ω]+h(2N−1​)]
再令m=(N-1)/2-n，得：
H(ejω)=e−j(N−1)ω/2[2∑n=1(N−1)/2h(N−12−n)cos(ωn)+h(N−12)]H(e^{j\omega})=e^{-j(N-1)\omega /2}[2\sum_{n=1}^{(N-1)/2}h(\frac{N-1}2-n)cos(\omega n)+h(\frac{N-1}2)] H(ejω)=e−j(N−1)ω/2[2n=1∑(N−1)/2​h(2N−1​−n)cos(ωn)+h(2N−1​)]
令
a(n)={h(N−12)n=02h(N−12−n)n=1,2,…,(N−1)/2a(n)=\begin{cases} h(\frac{N-1}2)&n=0\\ 2h(\frac{N-1}2-n)&n=1,2,…,(N-1)/2 \end{cases} a(n)={h(2N−1​)2h(2N−1​−n)​n=0n=1,2,...,(N−1)/2​
则
H(ejω)=e−j(N−1)ω/2∑n=0(N−1)/2a(n)cos(ωn)H(e^{j\omega})=e^{-j(N-1)\omega /2}\sum_{n=0}^{(N-1)/2}a(n)cos(\omega n) H(ejω)=e−j(N−1)ω/2n=0∑(N−1)/2​a(n)cos(ωn)
对比：H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)H(e^{j\omega})=H_g(\omega)e^{j\theta(\omega)}H(ejω)=Hg​(ω)ejθ(ω)

因此：
θ(ω)=−N−12ω,Hg(ω)=∑n=0(N−1)/2a(n)cos(ωn)\theta(\omega)=-\frac{N-1}2\omega,H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{(N-1)/2}a(n)cos(\omega n) θ(ω)=−2N−1​ω,Hg​(ω)=n=0∑(N−1)/2​a(n)cos(ωn)

(上图中，低通滤波器满足在$\omega =0$对称，高通滤波器满足在$\omega =\pi$对称，带阻滤波器满足在$\omega =0和\omega =\pi$均对称，带通滤波器无要求)

由于Hg(ω)中cosωnH_g(\omega)中cos\omega nHg​(ω)中cosωn项对$\omega =0,\pi ,2\pi$皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对$\omega =0,\pi ,2\pi$为偶对称，如上图所示，因此类型1可用于设计各种滤波器

类型2：h(n)=h(N-n-1)，N=偶数

H(ejω)=e−jωτ∑n=0(N−1)/22h(n)cos[ω(n−τ)],式中，τ=(N−1)/2H(e^{j\omega})=e^{-j\omega \tau}\sum_{n=0}^{(N-1)/2}2h(n)cos[\omega( n-\tau)],式中，\tau=(N-1)/2 H(ejω)=e−jωτn=0∑(N−1)/2​2h(n)cos[ω(n−τ)],式中，τ=(N−1)/2

因此
Hg(ω)=∑n=0(N−1)/22h(n)cos[ω(n−τ)]H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{(N-1)/2}2h(n)cos[\omega( n-\tau)] Hg​(ω)=n=0∑(N−1)/2​2h(n)cos[ω(n−τ)]
当$\omega =\pi$时，cos[ω(n−τ)]=cos[π(n−N2)+π2]=−sin[π(n−N2)]=0(N2为整数)cos[\omega(n-\tau)]=cos[\pi(n-\frac N2)+\frac\pi2]=-sin[\pi(n-\frac N2)]=0(\frac N2为整数)cos[ω(n−τ)]=cos[π(n−2N​)+2π​]=−sin[π(n−2N​)]=0(2N​为整数)

所以Hg(π)=0H_g(\pi)=0Hg​(π)=0，说明Hg(ω)H_g(\omega)Hg​(ω)关于$\omega =\pi$奇对称，当$\omega =2\pi$时，Hg(ω)H_g(\omega)Hg​(ω)关于$\omega =0和\omega =2\pi$偶对称。因此类型2不能实现高通和带阻滤波器

类型3：h(n)=-h(N-n-1)，N=奇数

Hg(ω)=∑n=0(N−1)/22h(n)sin[ω(n−τ)]H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{(N-1)/2}2h(n)sin[\omega(n-\tau)] Hg​(ω)=n=0∑(N−1)/2​2h(n)sin[ω(n−τ)]

式中，N为奇数，$\tau =(N-1)/2$是整数，说明Hg(ω)H_g(\omega)Hg​(ω)关于$\omega =0，\omega =\pi 和\omega =2\pi$奇对称，因此类型3只能用来实现带通滤波器

类型4：h(n)=-h(N-n-1)，N=偶数

Hg(ω)=∑n=0(N−1)/22h(n)sin[ω(n−τ)]H_g(\omega)=\sum_{n=0}^{(N-1)/2}2h(n)sin[\omega(n-\tau)] Hg​(ω)=n=0∑(N−1)/2​2h(n)sin[ω(n−τ)]

式中，N为奇数，$\tau =(N-1)/2$

$当\omega =0和\omega =2\pi 时，sin[\omega (n-\tau )]=0$

$当\omega =\pi 时,sin[\omega (n-\tau )]取得最大值$

说明，Hg(ω)H_g(\omega)Hg​(ω)关于$\omega =0和\omega =2\pi$奇对称，关于$\omega =\pi$偶对称，因此类型4不能用来实现低通和带阻滤波器

奇偶对称的单位脉冲响应

偶对称单位脉冲响应：

奇对称单位脉冲响应：

FIR滤波器的窗函数设计法

窗函数设计法的原理

如果滤波器的单位取样响应hd(n)h_d(n)hd​(n)无限长，要用FIR滤波器实现，就必须截断无限长的序列，以得到有限长的单位取样响应h(n)

为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，由hd(n)h_d(n)hd​(n)截取h(n)时，必须保证截取的一段对$(N-1)/2$对称

• 将h(n)表示为hd(n)h_d(n)hd​(n)和窗函数$w(n)$的乘积：

  h(n)=w(n)⋅hd(n)h(n)=w(n)\cdot h_d(n)h(n)=w(n)⋅hd​(n)

• 当w(n)的取值区间在0至N-1时，截断后滤波器的频率响应为有限项级数和:
  H(ejω)=∑n=0N−1h(n)e−jw=∑n=−∞+∞w(n)⋅hd(n)⋅e−jωnH(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-jw}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}w(n)\cdot h_d(n)\cdot e^{-j\omega n} H(ejω)=n=0∑N−1​h(n)e−jw=n=−∞∑+∞​w(n)⋅hd​(n)⋅e−jωn
  H(ejω)是Hd(ejω)H(e^{j\omega})是H_d(e^{j\omega})H(ejω)是Hd​(ejω)在均方误差最小下的最优逼近

典型窗函数及其特性

1、矩形窗

w(n)=RN(n)={10≤n≤N−10其他WR(ejω)=∑n=0N−1e−jωn=sin(ωN/2)sin(ω/2)e−jω(N−12)w(n)=R_N(n)=\begin{cases} 1&0\leq n\leq N-1\\ 0&其他 \end{cases} \\ W_R(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\omega n}=\frac{sin(\omega N/2)}{sin(\omega /2)}e^{-j\omega(\frac{N-1}2)} w(n)=RN​(n)={10​0≤n≤N−1其他​WR​(ejω)=n=0∑N−1​e−jωn=sin(ω/2)sin(ωN/2)​e−jω(2N−1​)
2、三角窗(又称Bartlett窗)

w(n)={2nNn=0,1,…,N2w(N−n)n=N2,…,N−1或w(n)=1−2∣n∣N,n=−N2,…,0,…N2w(n)=\begin{cases} \frac{2n}N&n=0,1,…,\frac N2\\ w(N-n)&n=\frac N2,…,N-1 \end{cases} \\或w(n)=1-\frac{2|n|}N,n=-\frac N2,…,0,…\frac N2 w(n)={N2n​w(N−n)​n=0,1,...,2N​n=2N​,...,N−1​或w(n)=1−N2∣n∣​,n=−2N​,...,0,...2N​

W(ejω)=2Ne−jN−12ω[sin(ωN4)sin(ω2)]2W(e^{j\omega})=\frac2Ne^{-j\frac{N-1}{2}\omega}[\frac{sin(\frac{\omega N}4)}{sin(\frac\omega2)}]^2 W(ejω)=N2​e−j2N−1​ω[sin(2ω​)sin(4ωN​)​]2

3、汉宁(Hanning)窗(升余弦窗)

w(n)=0.5−0.5cos(2πnN),n=0,1,…,N−1或w(n)=0.5+0.5cos(2πnN),n=−N2,…,0,…,N2w(n)=0.5-0.5cos(\frac{2\pi n}N),n=0,1,…,N-1\\ 或w(n)=0.5+0.5cos(\frac{2\pi n}N),n=-\frac N2,…,0,…,\frac N2 w(n)=0.5−0.5cos(N2πn​),n=0,1,...,N−1或w(n)=0.5+0.5cos(N2πn​),n=−2N​,...,0,...,2N​

W(ejω)=0.5U(ω)+0.25[U(ω−2πN)+U(ω+2πN)],式中U(ω)=ejω/2sin(ωN2)/sin(ω2)W(e^{j\omega})=0.5U(\omega)+0.25[U(\omega-\frac{2\pi}N)+U(\omega+\frac{2\pi}N)],式中U(\omega)=e^{j\omega/2}sin(\frac{\omega N}2)/sin(\frac \omega2) W(ejω)=0.5U(ω)+0.25[U(ω−N2π​)+U(ω+N2π​)],式中U(ω)=ejω/2sin(2ωN​)/sin(2ω​)

4、汉明(Hamming)窗(改进升余弦窗)

w(n)=0.54−0.46cos(2πnN),n=0,1,…,N−1或w(n)=0.54+0.46cos(2πnN),n=−N2,…,0,…,N2w(n)=0.54-0.46cos(\frac{2\pi n}N),n=0,1,…,N-1\\ 或w(n)=0.54+0.46cos(\frac{2\pi n}N),n=-\frac N2,…,0,…,\frac N2 w(n)=0.54−0.46cos(N2πn​),n=0,1,...,N−1或w(n)=0.54+0.46cos(N2πn​),n=−2N​,...,0,...,2N​

W(ejω)=0.54U(ω)+0.23[U(ω−2πN)+U(ω+2πN)]W(e^{j\omega})=0.54U(\omega)+0.23[U(\omega-\frac{2\pi}N)+U(\omega+\frac{2\pi}N)] W(ejω)=0.54U(ω)+0.23[U(ω−N2π​)+U(ω+N2π​)]

5、布莱克曼(Blackman)窗

w(n)=0.42−0.5cos(2πnN)+0.08cos(4πnN),n=0,1,…,N−1或w(n)=0.42−0.5cos(2πnN)+0.08cos(4πnN),n=−N2,…,0,…,N2w(n)=0.42-0.5cos(\frac{2\pi n}N)+0.08cos(\frac{4\pi n}N),n=0,1,…,N-1\\ 或w(n)=0.42-0.5cos(\frac{2\pi n}N)+0.08cos(\frac{4\pi n}N),n=-\frac N2,…,0,…,\frac N2 w(n)=0.42−0.5cos(N2πn​)+0.08cos(N4πn​),n=0,1,...,N−1或w(n)=0.42−0.5cos(N2πn​)+0.08cos(N4πn​),n=−2N​,...,0,...,2N​
6、上述5种窗函数的频谱

窗名称	近似过渡带宽	精确过渡带宽	最小阻带衰减
矩形窗	$4\pi /N$	$1.8\pi /N$	21dB
三角窗	$8\pi /N$	$6.1\pi /N$	25dB
汉宁窗	$8\pi /N$	$6.2\pi /N$	44dB
汉明窗	$8\pi /N$	$6.6\pi /N$	51dB
布莱克曼窗	$12\pi /N$	$11\pi /N$	74dB

窗函数法设计FIR滤波器步骤

1、根据所需设计的数字滤波器类型（低通，高通，带通，带阻），确定线性相位数字滤波器类型$(I,II,III,IV)$

2、选择合适的窗函数$w(n)$：根据滤波器阻带衰减αs\alpha_sαs​选择窗函数$w(n)$的种类，然后根据滤波器过渡带宽度，确定所选窗函数的长度N。用窗函数设计的FIR数字滤波器的通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度，所以通常只考虑阻带最小衰减就可以。

3、确定理想数字滤波器的频率响应函数：
Hd(ejω)=Hd(ω)ejθd(ω)H_d(e^{j\omega})=H_d(\omega)e^{j\theta_d(\omega)} Hd​(ejω)=Hd​(ω)ejθd​(ω)
对严格线性相位FIR数字滤波器θd(ω)=−ω(N−1)/2\theta_d(\omega)=-\omega(N-1)/2θd​(ω)=−ω(N−1)/2

对广义线性相位FIR数字滤波器θd(ω)=−π/2−ω(N−1)/2\theta_d(\omega)=-\pi/2-\omega(N-1)/2θd​(ω)=−π/2−ω(N−1)/2

理想数字滤波器的截止频率ωc\omega_cωc​近似为最终设计的FIR数字滤波器的过渡带中心频率，所以一般取ωc=(ωp+ωs)/2\omega_c=(\omega_p+\omega_s)/2ωc​=(ωp​+ωs​)/2。ωp和ωs\omega_p和\omega_sωp​和ωs​分别为通带边界频率和阻带边界频率。

4、计算理想数字滤波器的单位脉冲响应
hd(n)=12π∫−ππHd(ejω)ejωndωh_d(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega hd​(n)=2π1​∫−ππ​Hd​(ejω)ejωndω
5、加窗得到设计结果
h(n)=hd(n)w(n)h(n)=h_d(n)w(n) h(n)=hd​(n)w(n)

FIR滤波器的频率采样设计法

频率采样法的原理

根据频域采样定理， 一个长度为M的有限长序列$x(n)$，可通过其频谱函数的$N\ge M$点等间隔采样值$X(k)$准确的恢复原信号$x(n)$，即x(n)=xN(n)=IDFT[X(k)]x(n)=x_N(n)=IDFT[X(k)]x(n)=xN​(n)=IDFT[X(k)]。设待设计的滤波器的传输函数用Hd(ejω)H_d(e^{j\omega})Hd​(ejω)表示，对它在$\omega =0\backsim 2\pi$之间等间隔采样N点，得到Hd(k)H_d(k)Hd​(k)：
Hd(k)=Hd(ejω)∣ω=2πNk,k=0,1,2,…,N−1H_d(k)=H_d(e^{j\omega})|_{\omega=\frac{2\pi}Nk},k=0,1,2,…,N-1 Hd​(k)=Hd​(ejω)∣ω=N2π​k​,k=0,1,2,...,N−1
再对N点Hd(k)H_d(k)Hd​(k)进行IDFT，得到$h(n)$，即为所设计的滤波器的单位取样响应：
h(n)=1N∑k=0N−1Hd(k)ej2πNkn,k=0,1,2,…,N−1h(n)=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}H_d(k)e^{j\frac{2\pi}Nkn},k=0,1,2,…,N-1 h(n)=N1​k=0∑N−1​Hd​(k)ejN2π​kn,k=0,1,2,...,N−1
根据频域采样定理，其系统函数$H(z)$可写成：
H(z)=∑n=0N−1h(n)z−n=1−z−NN∑k=0N−1Hd(k)1−ej2πNkz−1H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}=\frac{1-z^{-N}}N\sum_{k=0}^{N-1}\frac {H_d(k)}{1-e^{j\frac{2\pi}Nk}z^{-1}} H(z)=n=0∑N−1​h(n)z−n=N1−z−N​k=0∑N−1​1−ejN2π​kz−1Hd​(k)​
用频率采样法设计线性相位滤波器的条件：
Hd(k)=Hg(k)ejθ(k)θ(k)=−N−1NπkHg(k)=Hg(N−k),N=奇数Hg(k)=−Hg(N−k),N=偶数H_d(k)=H_g(k)e^{j\theta(k)} \\ \theta(k)=-\frac{N-1}N\pi k \\ H_g(k)=H_g(N-k),N=奇数 \\ H_g(k)=-H_g(N-k),N=偶数 Hd​(k)=Hg​(k)ejθ(k)θ(k)=−NN−1​πkHg​(k)=Hg​(N−k),N=奇数Hg​(k)=−Hg​(N−k),N=偶数