行列式

主要名词概念

逆序、逆序数、对换、奇偶排列、n阶行列式、上下三角形行列式、对角行列式、转置行列式、余子式、代数余子式、k阶子式、k阶子式的余子式、k阶子式的代数余子式、对称行列式、反对称行列式、系数行列式、零解、非零解

n阶行列式

二、三阶行列式的概念、定义

二阶行列式

行列式的概念是从解线性方程组的问题中产生的，比如二元线性方程组：

{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧​a11​x1​+a12​x2​=b1​a21​x1​+a22​x2​=b2​​
用加减消元法，先消去 x2\large x_2x2​ 得：
(a11a22−a12a21)x1=b1a22−b2a12\LARGE (a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}) x_1 = b_1 a_{22} – b_2 a_{12} (a11​a22​−a12​a21​)x1​=b1​a22​−b2​a12​
同样的方法消去 x1\large x_1x1​ 得：
(a11a22−a12a21)x2=b2a11−b1a21\LARGE (a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}) x_2 = b_2 a_{11} – b_1 a_{21} (a11​a22​−a12​a21​)x2​=b2​a11​−b1​a21​
因此，当 (a11a22−a12a21)≠0\large (a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}) \ne 0(a11​a22​−a12​a21​)=0 时有唯一解，即：
x1=b1a22−b2a12a11a22−a12a21,x2=b2a11−b1a21a11a22−a12a21\LARGE x_1 = \frac{b_1 a_{22} – b_2 a_{12}} {a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}} , x_2 = \frac{b_2 a_{11} – b_1 a_{21}} {a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}} x1​=a11​a22​−a12​a21​b1​a22​−b2​a12​​,x2​=a11​a22​−a12​a21​b2​a11​−b1​a21​​
为了方便记忆，我们定义一个符号：
∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21} ∣∣​a11​a21​​a12​a22​​∣∣​=a11​a22​−a12​a21​
这样规定的记号 ∣a11a12a21a22∣\large \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}∣∣​a11​a21​​a12​a22​​∣∣​ 称为 二阶行列式 ，它含有两行两列，横为行，竖为列。

行列式中，数 aij(i,j=1,2)\large a_{ij} (i,j = 1,2)aij​(i,j=1,2) 称为行列式的元素，第一个下标 $i$ 称为 行标 ，第二个下标 $j$ 称为 列标 。比如 a21\large a_{21}a21​ 就是第二行第一列的元素。

二阶行列式的计算

由上面的定义，我们可以知道二阶行列式是这样两项的代数和：

• 从左上角到右下角，也就是实线，称为 行列式的主对角线
• 从右上角到左下角，也就是虚线，称为 行列式的次对角线

计算的话，就是主对角线元素相乘，减去次对角线上的元素相乘。

例题：

设 D=∣λ−112λ∣\large D= \begin{vmatrix} \lambda -1 & 1 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix}D=∣∣​λ−12​1λ​∣∣​ ，问：当 $\large \lambda $ 为何值时，$D\ne 0$ ？

解：
D=∣λ−112λ∣=(λ−1)λ−2=(λ−2)(λ+1)\LARGE D= \begin{vmatrix} \lambda -1 & 1 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda -1)\lambda -2 = (\lambda -2)(\lambda +1) D=∣∣​λ−12​1λ​∣∣​=(λ−1)λ−2=(λ−2)(λ+1)
所以当 $(\lambda -2)(\lambda +1)\ne 0$ 时，$D\ne 0$ 。即 $\lambda \ne 2,\lambda \ne -1$ 。

三阶行列式

同样的，由上述二阶行列式，我们可以衍生出三阶行列式，对于三元线性方程组：
{a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​=b1​a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​=b2​a31​x1​+a32​x2​+a33​x3​=b3​​
同前面一样，为了方便记忆，我们引入记号：
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32\LARGE \begin{array}{l} \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \\ =a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} \\ -a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \end{array} ∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣​=a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a12​a21​a33​−a11​a23​a32​​
上面就称为 三阶行列式 。它含有三行三列，是 $3!=6$ 项的代数和。

三阶行列式的计算

和二阶行列式一样可以用画线法来进行记忆，下面这个方法称为三阶行列式的 对角线展开法 ：

• 三个实线上的元素分别相乘然后相加，再减去每个虚线上的元素相乘
• 对角线展开法 仅适用与三阶及以下的行列式计算

排列和逆序

❗️ 定义：由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

列如，123，是一个3级排序，4132，2143，1234都说4级排序。n级排列共有 $n!$ 个。

❗️ 定义：在一个n级排列中，如果较大的数排列在较小的数前面，则它们构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总和称为它的 逆序数 。排列 i1i2…in\large i_1i_2…i_ni1​i2​…in​ 的逆序数记为 N(i1i2…in)\large N(i_1i_2…i_n)N(i1​i2​…in​) 。

• 逆序数为偶数称为 **偶排列 **
• 逆序数为奇数称为 奇排列

例如，排列 4132 中，4和1，4和3，4和2，3和2，各构成一个逆序，总共4个逆序，即 $N(4132)=4$ ，是一个偶排列。

计算逆序数的时候可以从第一个数开始往后比较，如：

• ①分别和②③④比较，如果①比较大，就加一
• ②分别和③④比较，如果②比较大，就加一
• ③和④比较，如果③比较大，就加一

❗️ 定理：一个排列经过一个对换后（排列中的任意两个数交换位置），奇偶性改变。

由上述定理可以得到下面一个重要的结论

❗️ 定理：在全部n级别排列中，偶排列和奇排列各占一半，都有 n!2(n≥2)\large \frac{n!}{2} (n\ge 2)2n!​(n≥2) 个 。

n阶行列式

由二阶、三阶行列式的概念推广到n阶：

❗️ 定义：由 n2\large n^2n2 个元素 aij(i,j=1,2,…,n)\large a_{ij} (i,j=1,2,…,n)aij​(i,j=1,2,…,n) 组成的记号
∣a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​a21​…an1​​a12​a22​…an2​​…………​a1n​a2n​…ann​​∣∣​
称为 n阶行列式 。

n阶行列式的计算

将行列式 ∣a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann∣\large \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix}∣∣​a11​a21​…an1​​a12​a22​…an2​​…………​a1n​a2n​…ann​​∣∣​ 简记为 D=∣aij∣\large D=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}D=∣∣​aij​​∣∣​ 。

并将元素 a11,a22,…,ann\large a_{11},a_{22},…,a_{nn}a11​,a22​,…,ann​ （从左上角到右下角的对角线）称为 主对角线 ；把元素 a1n,a2,n−1,…,an1\large a_{1n},a_{2,n-1},…,a_{n1}a1n​,a2,n−1​,…,an1​ （从右上角到左下角的对角线）称为 次对角线 。

按行展开计算

D=∑j1j2…jn(−1)N(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn\LARGE D=\sum_{j_1j_2…j_n}^{} (-1)^{N(j_1j_2…j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}…a_{nj_n} D=j1​j2​…jn​∑​(−1)N(j1​j2​…jn​)a1j1​​a2j2​​…anjn​​

也就是 行 是固定顺序，列 是按照排列来的，因为有n列，所以有 $n!$ 项。又因为在n级排列中，奇偶排列各占一半，符号是根据奇偶排列来的，所有正负项也各占一半。

一般项为：
(−1)N(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn\LARGE (-1)^{N(j_1j_2…j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}…a_{nj_n} (−1)N(j1​j2​…jn​)a1j1​​a2j2​​…anjn​​

按列展开计算

D=∑i1i2…in(−1)N(i1i2…in)ai11ai22…ainn\LARGE D=\sum_{i_1i_2…i_n}^{} (-1)^{N(i_1i_2…i_n)} a_{i_11}a_{i_22}…a_{i_nn} D=i1​i2​…in​∑​(−1)N(i1​i2​…in​)ai1​1​ai2​2​…ain​n​

一般项为：
(−1)N(i1i2…in)ai11ai22…ainn\LARGE (-1)^{N(i_1i_2…i_n)} a_{i_11}a_{i_22}…a_{i_nn} (−1)N(i1​i2​…in​)ai1​1​ai2​2​…ain​n​

既不按行也不按列

n行列式的一般项，可以记为：

上三角、下三角、对角行列式

下三角行列式：

D=∣a1100…0a21a220…0……………an1an2an3…ann∣=a11a22a33…ann\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & … & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & … & 0 \\ … & … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}…a_{nn} D=∣∣​a11​a21​…an1​​0a22​…an2​​00…an3​​…………​00…ann​​∣∣​=a11​a22​a33​…ann​

它的值等于其主对角线上的所有元素的乘积

上三角行列式：

D=∣a11a12a13…a1n0a22a23…a2n……………000…ann∣=a11a22a33…ann\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & 0 & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}…a_{nn} D=∣∣​a11​0…0​a12​a22​…0​a13​a23​…0​…………​a1n​a2n​…ann​​∣∣​=a11​a22​a33​…ann​

它的值也等于其主对角线上的所有元素的乘积

对角行列式：

D=∣a1100…00a220…0……………000…ann∣=a11a22a33…ann\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & … & 0 \\ … & … & … & … & … \\ 0 & 0 & 0 & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}…a_{nn} D=∣∣​a11​0…0​0a22​…0​00…0​…………​00…ann​​∣∣​=a11​a22​a33​…ann​

它的值也等于其主对角线上的所有元素的乘积

次对角线上

比如类似这种的
D=∣0…0a1n0…a2,n−1a1n…………an1…an,n−1a1n∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1…an1\LARGE D= \begin{vmatrix} 0 & … & 0 & a_{1n} \\ 0 & … & a_{2,n-1} & a_{1n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & … & a_{n,n-1} & a_{1n} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}…a_{n1} D=∣∣​00…an1​​…………​0a2,n−1​…an,n−1​​a1n​a1n​…a1n​​∣∣​=(−1)2n(n−1)​a1n​a2,n−1​…an1​
它的值等于其次主对角线上的所有元素的乘积，并且是带符号的。

例题

例1：

计算行列式
D=∣0200003000041000∣\LARGE D= \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} D=∣∣​0001​2000​0300​0040​∣∣​
仔细观察上面的行列式会发现每行只有一个元素为不为0，而这4给元素又在不同列。

我们按行展开，只有一项非零项，其余项都会为0，即：
a12a23a34a41=2×3×4×1=24\LARGE a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} = 2 \times 3 \times 4 \times 1=24 a12​a23​a34​a41​=2×3×4×1=24
又因为2341是奇排列，因此这一项前面应该为负号，所以：
D=−a12a23a34a41=−24\LARGE D = -a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} = -24 D=−a12​a23​a34​a41​=−24

例2：

行列式的性质

转置行列式

设有n阶行列式
D=∣a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann∣\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} D=∣∣​a11​a21​…an1​​a12​a22​…an2​​…………​a1n​a2n​…ann​​∣∣​
将D的行与列进行交换后得到的行列式，称为D的 转置行列式 ，记为 DT\large D^TDT 或 D′\large D^{'}D′ 。即：
D=∣a11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann∣\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & … & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & … & a_{n2} \\ … & … & … & … \\ a_{1n} & a_{2n} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} D=∣∣​a11​a12​…a1n​​a21​a22​…a2n​​…………​an1​an2​…ann​​∣∣​
显然 (DT)T=D\large (D^T)^T = D(DT)T=D 。

❗️ 性质：对于任何行列式D，均有 DT=D\large D^T = DDT=D 。

证：记D的一般项为
(−1)N(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn\LARGE (-1)^{N(j_1j_2…j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}…a_{nj_n} (−1)N(j1​j2​…jn​)a1j1​​a2j2​​…anjn​​
它的元素在 $D$ 中位于不同行不同列，因此在 DT\large D^TDT 中也位于不同行不同列，所以这n个元素在 DT\large D^TDT 中应该为：
aj11aj22…ajnn\LARGE a_{j_11}a_{j_22}…a_{j_nn} aj1​1​aj2​2​…ajn​n​
把 $j$ 换成 $i$ ，就是列展开的形式：
(−1)N(i1i2…in)ai11ai22…ainn\LARGE (-1)^{N(i_1i_2…i_n)} a_{i_11}a_{i_22}…a_{i_nn} (−1)N(i1​i2​…in​)ai1​1​ai2​2​…ain​n​
所以 DT=D\large D^T = DDT=D 。

❗️ 性质：行列式两行（列）互换，其值变号。即：
∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………as1as2…asn…………an1an2…ann∣=−∣a11a12…a1n…………as1as2…asn…………ai1ai2…ain…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{s1}& a_{s2} & … & a_{sn}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = – \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{s1}& a_{s2} & … & a_{sn}\\ … & … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​…ai1​…as1​…an1​​a12​…ai2​…as2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…asn​…ann​​∣∣​=−∣∣​a11​…as1​…ai1​…an1​​a12​…as2​…ai2​…an2​​…………………​a1n​…asn​…ain​…ann​​∣∣​

❗️ 性质：将行列式的某一行或某一列中所有元素同乘以数k，等于用这个数k乘该行列式：
∣a11a12…a1n…………kai1kai2…kain…………an1an2…ann∣=k∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ ka_{i1}& ka_{i2} & … & ka_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​…kai1​…an1​​a12​…kai2​…an2​​……………​a1n​…kain​…ann​​∣∣​=k∣∣​a11​…ai1​…an1​​a12​…ai2​…an2​​……………​a1n​…ain​…ann​​∣∣​
利用上述方法可以进行提取公因数。

❗️ 性质：如果行列式中有两行（列）对应的 元素相同 ，或 成比例 ，则该行列式为0。

❗️ 性质：如果行列式中某一行（列）对应的 元素全为0 ，则该行列式为0。

❗️ 性质：若行列式的某一行（列）中所有元素都是两项的和，则该行列式可以表示为两个行列式相加。即：
∣a11a12…a1n…………bi1ci1b21ci2…bincin…………an1an2…ann∣=∣a11a12…a1n…………bi1b21…bin…………an1an2…ann∣+∣a11a12…a1n…………ci1c21…cin…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ b_{i1}c_{i1}& b_{21}c_{i2} & … & b_{in}c_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ b_{i1}& b_{21} & … & b_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ c_{i1}& c_{21} & … & c_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​…bi1​ci1​…an1​​a12​…b21​ci2​…an2​​……………​a1n​…bin​cin​…ann​​∣∣​=∣∣​a11​…bi1​…an1​​a12​…b21​…an2​​……………​a1n​…bin​…ann​​∣∣​+∣∣​a11​…ci1​…an1​​a12​…c21​…an2​​……………​a1n​…cin​…ann​​∣∣​

❗️ ⭐️ ⭐️⭐️性质：将行列式一行（列）中所有元素都乘以数k后加到另外一行（列）的对应元素上，行列式值不变。即：
∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………aj1aj2…ajn…………an1an2…ann∣=∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kain…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{j1}& a_{j2} & … & a_{jn}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{j1}+ka_{i1}& a_{j2}+ka_{i2} & … & a_{jn}+ka_{in}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​…ai1​…aj1​…an1​​a12​…ai2​…aj2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…ajn​…ann​​∣∣​=∣∣​a11​…ai1​…aj1​+kai1​…an1​​a12​…ai2​…aj2​+kai2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…ajn​+kain​…ann​​∣∣​

可以想一下线性方程组，在计算过程中，其中一个式子乘一个系数，加到另一个式子中进行计算、消元。

证：

可以上一个性质我们可以把行列式拆开
∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kain…………an1an2…ann∣=∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………aj1aj2…ajn…………an1an2…ann∣+∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………kai1kai2…kain…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{j1}+ka_{i1}& a_{j2}+ka_{i2} & … & a_{jn}+ka_{in}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{j1}& a_{j2} & … & a_{jn}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ ka_{i1}& ka_{i2} & … & ka_{in}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​…ai1​…aj1​+kai1​…an1​​a12​…ai2​…aj2​+kai2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…ajn​+kain​…ann​​∣∣​=∣∣​a11​…ai1​…aj1​…an1​​a12​…ai2​…aj2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…ajn​…ann​​∣∣​+∣∣​a11​…ai1​…kai1​…an1​​a12​…ai2​…kai2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…kain​…ann​​∣∣​
有因为第二个行列式，某两行成倍数关系，所以第二个行列式等于0，所以：
∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kain…………an1an2…ann∣=∣a11a12…a1n…………ai1ai2…ain…………aj1aj2…ajn…………an1an2…ann∣+0\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{j1}+ka_{i1}& a_{j2}+ka_{i2} & … & a_{jn}+ka_{in}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & … & a_{1n}\\ …& … & … & …\\ a_{i1}& a_{i2} & … & a_{in}\\ … & … & … & …\\ a_{j1}& a_{j2} & … & a_{jn}\\ …& … & … & …\\ a_{n1}& a_{n2} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + 0 ∣∣​a11​…ai1​…aj1​+kai1​…an1​​a12​…ai2​…aj2​+kai2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…ajn​+kain​…ann​​∣∣​=∣∣​a11​…ai1​…aj1​…an1​​a12​…ai2​…aj2​…an2​​…………………​a1n​…ain​…ajn​…ann​​∣∣​+0

例题

行列式按某一行（列）展开

一般来说低阶的计算比高阶行列式的计算简便，所以在计算行列式时，可以考虑将高阶行列式转换为低阶行列式。

余子式和代数余子式

❗️ 定义：在 $n(n>1)$ 阶行列式 D=∣aij∣\large D = \begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}D=∣∣​aij​​∣∣​ 中，将元素 aij\large a_{ij}aij​ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去（删除），剩下的元素按照原来的相对位置所构成的 $n-1$ 阶行列式，称为 $D$ 中元素 aij\large a_{ij}aij​ 的 余子式 ，记为 Mij\large M_{ij}Mij​ 。

例：
D=∣a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44∣\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} D=∣∣​a11​a21​a31​a41​​a12​a22​a32​a42​​a13​a23​a33​a43​​a14​a24​a34​a44​​∣∣​
a23\large a_{23}a23​ 的 余子式 为：
M23=∣a11a12a14a31a32a34a41a42a44∣\LARGE M_{23}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} M23​=∣∣​a11​a31​a41​​a12​a32​a42​​a14​a34​a44​​∣∣​

在 aij\large a_{ij}aij​ 的余子式 Mij\large M_{ij}Mij​ 前面加上一个符号 (−1)i+j\large (-1)^{i+j}(−1)i+j 后，就称为 aij\large a_{ij}aij​ 在 $D$ 中的 代数余子式 ，记为 Aij\large A_{ij}Aij​ ，即 Aij=(−1)i+jMij\large A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}Aij​=(−1)i+jMij​ 。

上面例子中， a23\large a_{23}a23​ 的 代数余子式 为：
A23=(−1)2+3∣a11a12a14a31a32a34a41a42a44∣=−∣a11a12a14a31a32a34a41a42a44∣\LARGE A_{23}= (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} = – \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} A23​=(−1)2+3∣∣​a11​a31​a41​​a12​a32​a42​​a14​a34​a44​​∣∣​=−∣∣​a11​a31​a41​​a12​a32​a42​​a14​a34​a44​​∣∣​

行列式按某一行（列）展开

❗️ 定理：（行列式按行（列）展开）n阶行列式 D=∣aij∣\large D = \begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}D=∣∣​aij​​∣∣​ 等于它的任意一行（列）中各元素与其对应的 代数余子式乘积的和 ，即：
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin,i=(1,2,…,n)\LARGE D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+…+a_{in}A_{in} , i = (1,2,…,n) D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+…+ain​Ain​,i=(1,2,…,n)
或
D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj,j=(1,2,…,n)\LARGE D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+…+a_{nj}A_{nj} , j = (1,2,…,n) D=a1j​A1j​+a2j​A2j​+…+anj​Anj​,j=(1,2,…,n)

例题：

例1：

按第一行展开
D=∣132465368∣=1×(−1)1+1∣6568∣+3×(−1)1+2∣4538∣+2×(−1)1+3∣4636∣=\LARGE \begin{array}{c} D=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 3 & 6 & 8 \end{array}\right|=1 \times(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} 6 & 5 \\ 6 & 8 \end{array}\right|+ \\ 3 \times(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} 4 & 5 \\ 3 & 8 \end{array}\right|+2 \times(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll} 4 & 6 \\ 3 & 6 \end{array}\right|= \end{array} D=∣∣​143​366​258​∣∣​=1×(−1)1+1∣∣​66​58​∣∣​+3×(−1)1+2∣∣​43​58​∣∣​+2×(−1)1+3∣∣​43​66​∣∣​=​

例2：

❗️ 定理：（异乘变零定理）n阶行列式 D=∣aij∣\large D = \begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}D=∣∣​aij​​∣∣​ 的某一行（列）的所有元素与另一行（列）中对应的元素的代数余子式乘积的和为零，即：
ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0,(i≠s)a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0,(j≠t)\LARGE a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+…+a_{in}A_{sn}=0 , (i \ne s) \\\LARGE a_{1j}A_{1t}+a_{2j}A_{2t}+…+a_{nj}A_{nt}=0 , (j \ne t) ai1​As1​+ai2​As2​+…+ain​Asn​=0,(i=s)a1j​A1t​+a2j​A2t​+…+anj​Ant​=0,(j=t)

（不许NTR，纯爱战士狂喜）

证：
∣a11a12…a1na21a22…a2n…………ai1ai2…ain…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{i1} & a_{i2} & … & a_{in} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​a21​…ai1​…an1​​a12​a22​…ai2​…an2​​………………​a1n​a2n​…ain​…ann​​∣∣​
假设第一行所有元素乘上第 $i$ 行的对应元素的代数余子式，那么：
a11Ai1+a12Ai2+…+a1nAin\LARGE a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+…+a_{1n}A_{in} a11​Ai1​+a12​Ai2​+…+a1n​Ain​
上面的式子，根据 行列式按行（列）展开 又可以变成：
a11Ai1+a12Ai2+…+a1nAin=∣a11a12…a1na21a22…a2n…………a11a12…a1n…………an1an2…ann∣\LARGE a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+…+a_{1n}A_{in} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} a11​Ai1​+a12​Ai2​+…+a1n​Ain​=∣∣​a11​a21​…a11​…an1​​a12​a22​…a12​…an2​​………………​a1n​a2n​…a1n​…ann​​∣∣​
上面的行列式，第一行元素和第 $i$ 行元素对应相等，所以行列式为0。所以 异乘变零 ：
a11Ai1+a12Ai2+…+a1nAin=0\LARGE a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+…+a_{1n}A_{in} = 0 a11​Ai1​+a12​Ai2​+…+a1n​Ain​=0

拉普拉斯定理

行列式的计算

“杨辉三角”

加边法

范德蒙行列式

注意 ：是 ∏1≤j<i≤n\LARGE \prod_{1 \leq j<i \leq n}∏1≤j<i≤n​ ， $j$ 是小于 $i$ ，不是小于等于。

例如：n=4
Dn=(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)(x3−x2)(x4−x2)(x4−x3)\LARGE D_n = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1) \\\LARGE (x_3-x_2)(x_4-x_2) \\\LARGE (x_4-x_3) Dn​=(x2​−x1​)(x3​−x1​)(x4​−x1​)(x3​−x2​)(x4​−x2​)(x4​−x3​)

一定是“后面”的减法“前面”

反对称矩阵

反对称矩阵=0。

• 主对角线全为0
• 上下位置对应元素（关于主对角线对称），互为相反数

克莱姆（Cramer）法则

设定含有n个未知量n个方程组的线性方程组
{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……an1x1+an2x2+…+annxn=bn\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +…+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +…+a_{2n}x_n = b_2 \\ ……\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +…+a_{nn}x_n = b_n \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧​a11​x1​+a12​x2​+…+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+…+a2n​xn​=b2​……an1​x1​+an2​x2​+…+ann​xn​=bn​​
我们称它的系数 aij\large a_{ij}aij​ 所构成的行列式
∣a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\ \end{vmatrix} ∣∣​a11​a21​…an1​​a12​a22​…an2​​…………​a1n​a2n​…ann​​∣∣​
为此方程组的 系数行列式 。

将 $D$ 的第1，2，…，n列分别换成常数项 b1,b2,..,bn\large b_1,b_2,..,b_nb1​,b2​,..,bn​ 后，所得到的n个n阶行列式依次记为 D1,D2,…,Dn\large D_1,D_2,…,D_nD1​,D2​,…,Dn​ ，即
D1=∣b1a12…a1nb2a22…a2n…………bnan2…ann∣,D2=∣a11b1…a1na21b2…a2n…………an1bn…ann∣Dn=∣a11a12…b1a21a22…b2…………an1an2…bn∣\LARGE \begin{array}{c} D_{1}=\left|\begin{array}{llll} b_{1} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ b_{n} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right|, D_{2}=\left|\begin{array}{llll} a_{11} & b_{1} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & b_{2} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & b_{n} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right| \\ D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & b_{2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & b_{n} \end{array}\right| \end{array} D1​=∣∣​b1​b2​…bn​​a12​a22​…an2​​…………​a1n​a2n​…ann​​∣∣​,D2​=∣∣​a11​a21​…an1​​b1​b2​…bn​​…………​a1n​a2n​…ann​​∣∣​Dn​=∣∣​a11​a21​…an1​​a12​a22​…an2​​…………​b1​b2​…bn​​∣∣​​

❗️ 定理：（克莱姆法则）含有n个方程n个未知量的线性方程组，当它的系数行列式 $D\ne 0$ 时，有唯一解：
xj=DjD,(j=1,2,…,n)\LARGE x_j = \frac{D_j}{D} ,(j=1,2,…,n) xj​=DDj​​,(j=1,2,…,n)

当线性方程组的常数项全为零时：
{a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0……an1x1+an2x2+…+annxn=0\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +…+a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +…+a_{2n}x_n = 0 \\ ……\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +…+a_{nn}x_n = 0 \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧​a11​x1​+a12​x2​+…+a1n​xn​=0a21​x1​+a22​x2​+…+a2n​xn​=0……an1​x1​+an2​x2​+…+ann​xn​=0​
称为 齐次线性方程组 。

显然它是肯定有解的 x1=0,x2=0,…,xn=0\large x_1=0,x_2=0,…,x_n=0x1​=0,x2​=0,…,xn​=0 ，此解称为齐次线性方程组的 零解 。除此以外的解，称为齐次线性方程组的 非零解 。

由克莱姆法则可以得出以下定理：

• $D\ne 0(符合克莱姆法则)⟺齐次线性方程组只有零解$
• $D=0(符合克莱姆法则)⟺齐次线性方程组有非零解$