34.二重积分

• 34.二重积分
• • 34.1 二重积分（积分区域为矩形区域）
  • • 34.1.1 富比尼定理计算二重积分
    • • 34.1.1.1 先对 y 积分，再对 x 积分
      • 34.1.1.2 先对 x 积分，再对 y 积分
  • 34.2 二重积分（积分区域为一般区域）
  • • 34.2.1 富比尼定理计算二重积分
    • • 34.2.1.1 先对 y 积分，再对 x 积分
      • 34.2.1.2 对应的计算方法
      • 34.2.1.3 先对 x 积分，再对 y 积分
      • 34.2.1.4 对应的计算方法
  • 34.3 二重积分的性质
  • 34.4 二重积分计算面积（笛卡尔坐标系）
  • • 34.4.1 均值
  • 34.5 二重积分的极坐标形式
  • • 34.5 对应的计算方法
  • 34.6 二重积分计算面积（极坐标形式）
  • 34.7 二重积分笛卡尔形式转为极坐标形式

34.二重积分

(1) 单积分可以表示带符号的面积
(2) 二重积分代表有符号的体积，有时使用极坐标来简化计算
(3) 三重积分可以用来求空间中更一般区域的体积，有时使用柱坐标或球坐标简化计算

34.1 二重积分（积分区域为矩形区域）

34.1.1 富比尼定理计算二重积分

34.1.1.1 先对 y 积分，再对 x 积分

先对 $y$ 进行积分，而后对 $x$ 进行积分
平行于 $y$ 轴的截面积作为小立方体的底面积 $A(x)$，平行于 $x$ 轴的小线段（$dx$）作为小立方体的高

34.1.1.2 先对 x 积分，再对 y 积分

先对 $x$ 进行积分，而后对 $y$ 进行积分
平行于 $x$ 轴的截面积作为小立方体的底面积 $A(y)$，平行于 $y$ 轴的小线段（$dy$）作为小立方体的高

34.2 二重积分（积分区域为一般区域）

34.2.1 富比尼定理计算二重积分

34.2.1.1 先对 y 积分，再对 x 积分

先对 $y$ 进行积分，而后对 $x$ 进行积分
平行于 $y$ 轴的截面积作为小立方体的底面积 $A(x)$，平行于 $x$ 轴的小线段（$dx$）作为小立方体的高

34.2.1.2 对应的计算方法

先对谁（$x$或$y$或$z$） 积分，就平行于它对应的轴进行穿线

34.2.1.3 先对 x 积分，再对 y 积分

先对 $x$ 进行积分，而后对 $y$ 进行积分
平行于 $x$ 轴的截面积作为小立方体的底面积 $A(y)$，平行于 $y$ 轴的小线段（$dy$）作为小立方体的高

34.2.1.4 对应的计算方法

先对谁（$x$或$y$或$z$） 积分，就平行于它对应的轴进行穿线

34.3 二重积分的性质

34.4 二重积分计算面积（笛卡尔坐标系）

例1：

例2：

34.4.1 均值

如果 $ƒ$ 是积分区域R的薄板的温度，则 $ƒ$ 除以 $R$ 的面积的二重积分就是板的平均温度

例子：

34.5 二重积分的极坐标形式

使用极坐标形式可以简化二重积分的计算

34.5 对应的计算方法

34.6 二重积分计算面积（极坐标形式）

例1：

例2：

34.7 二重积分笛卡尔形式转为极坐标形式

例1：

例2：