这里写目录标题

    • 试除法判定质数 —— 模板题 AcWing 866. 试除法判定质数
    • 试除法分解质因数 —— 模板题 AcWing 867. 分解质因数
    • 朴素筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数
    • 线性筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数
    • 试除法求所有约数 —— 模板题 AcWing 869. 试除法求约数
    • 约数个数和约数之和 —— 模板题 AcWing 870. 约数个数, AcWing 871. 约数之和
    • 欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 872. 最大公约数
    • 求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 873. 欧拉函数
    • 筛法求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 874. 筛法求欧拉函数
    • 快速幂 —— 模板题 AcWing 875. 快速幂
    • 扩展欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 877. 扩展欧几里得算法
    • 高斯消元 —— 模板题 AcWing 883. 高斯消元解线性方程组
    • 递归法求组合数 —— 模板题 AcWing 885. 求组合数 I
    • 通过预处理逆元的方式求组合数 —— 模板题 AcWing 886. 求组合数 II
    • Lucas定理 —— 模板题 AcWing 887. 求组合数 III
    • 分解质因数法求组合数 —— 模板题 AcWing 888. 求组合数 IV
    • 卡特兰数 —— 模板题 AcWing 889. 满足条件的01序列
    • NIM游戏 —— 模板题 AcWing 891. Nim游戏
    • 公平组合游戏ICG
    • 有向图游戏
    • Mex运算
    • SG函数
    • 有向图游戏的和 —— 模板题 AcWing 893. 集合-Nim游戏
    • 定理

试除法判定质数 —— 模板题 AcWing 866. 试除法判定质数

bool is_prime(int x)
{if (x < 2) return false;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0)return false;return true;
}

试除法分解质因数 —— 模板题 AcWing 867. 分解质因数

void divide(int x)
{for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){int s = 0;while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;cout << i << ' ' << s << endl;}if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;cout << endl;
}

朴素筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (st[i]) continue;primes[cnt ++ ] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;}
}

线性筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}

试除法求所有约数 —— 模板题 AcWing 869. 试除法求约数

vector<int> get_divisors(int x)
{vector<int> res;for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res.push_back(i);if (i != x / i) res.push_back(x / i);}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

约数个数和约数之和 —— 模板题 AcWing 870. 约数个数, AcWing 871. 约数之和

如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)

欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 872. 最大公约数

int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 873. 欧拉函数

int phi(int x)
{int res = x;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res = res / i * (i - 1);while (x % i == 0) x /= i;}if (x > 1) res = res / x * (x - 1);return res;
}

筛法求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 874. 筛法求欧拉函数

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉void get_eulers(int n)
{euler[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]){primes[cnt ++ ] = i;euler[i] = i - 1;}for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){int t = primes[j] * i;st[t] = true;if (i % primes[j] == 0){euler[t] = euler[i] * primes[j];break;}euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);}}
}

快速幂 —— 模板题 AcWing 875. 快速幂

求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。int qmi(int m, int k, int p)
{int res = 1 % p, t = m;while (k){if (k&1) res = res * t % p;t = t * t % p;k >>= 1;}return res;
}

扩展欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 877. 扩展欧几里得算法

// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b){x = 1; y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= (a/b) * x;return d;
}

高斯消元 —— 模板题 AcWing 883. 高斯消元解线性方程组

// a[N][N]是增广矩阵
int gauss()
{int c, r;for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ ){int t = r;for (int i = r; i < n; i ++ )   // 找到绝对值最大的行if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))t = i;if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);      // 将绝对值最大的行换到最顶端for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];      // 将当前行的首位变成1for (int i = r + 1; i < n; i ++ )       // 用当前行将下面所有的列消成0if (fabs(a[i][c]) > eps)for (int j = n; j >= c; j -- )a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];r ++ ;}if (r < n){for (int i = r; i < n; i ++ )if (fabs(a[i][n]) > eps)return 2; // 无解return 1; // 有无穷多组解}for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )for (int j = i + 1; j < n; j ++ )a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];return 0; // 有唯一解
}

递归法求组合数 —— 模板题 AcWing 885. 求组合数 I

// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )for (int j = 0; j <= i; j ++ )if (!j) c[i][j] = 1;else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

通过预处理逆元的方式求组合数 —— 模板题 AcWing 886. 求组合数 II

首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
int qmi(int a, int k, int p)    // 快速幂模板
{int res = 1;while (k){if (k & 1) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p;k >>= 1;}return res;
}// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}

Lucas定理 —— 模板题 AcWing 887. 求组合数 III

若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有：C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)int qmi(int a, int k, int p)  // 快速幂模板
{int res = 1 % p;while (k){if (k & 1) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p;k >>= 1;}return res;
}int C(int a, int b, int p)  // 通过定理求组合数C(a, b)
{if (a < b) return 0;LL x = 1, y = 1;  // x是分子，y是分母for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ ){x = (LL)x * i % p;y = (LL) y * j % p;}return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}int lucas(LL a, LL b, int p)
{if (a < p && b < p) return C(a, b, p);return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

分解质因数法求组合数 —— 模板题 AcWing 888. 求组合数 IV

当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：1. 筛法求出范围内的所有质数2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...3. 用高精度乘法将所有质因子相乘int primes[N], cnt;     // 存储所有质数
int sum[N];     // 存储每个质数的次数
bool st[N];     // 存储每个数是否已被筛掉void get_primes(int n)      // 线性筛法求素数
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}int get(int n, int p)       // 求n！中的次数
{int res = 0;while (n){res += n / p;n /= p;}return res;
}vector<int> mul(vector<int> a, int b)       // 高精度乘低精度模板
{vector<int> c;int t = 0;for (int i = 0; i < a.size(); i ++ ){t += a[i] * b;c.push_back(t % 10);t /= 10;}while (t){c.push_back(t % 10);t /= 10;}return c;
}get_primes(a);  // 预处理范围内的所有质数for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 求每个质因数的次数
{int p = primes[i];sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}vector<int> res;
res.push_back(1);for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 用高精度乘法将所有质因子相乘for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )res = mul(res, primes[i]);

卡特兰数 —— 模板题 AcWing 889. 满足条件的01序列

给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为： Cat(n) = C(2n, n) / (n + 1)

NIM游戏 —— 模板题 AcWing 891. Nim游戏

给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0

公平组合游戏ICG

若一个游戏满足：由两名玩家交替行动；
在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
不能行动的玩家判负；
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。

有向图游戏

给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

Mex运算

设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S

SG函数

在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即：
SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。

有向图游戏的和 —— 模板题 AcWing 893. 集合-Nim游戏

设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …, Gm的和。
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：
SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)

定理

有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。