下水道井盖为什么是圆的(水井盖为什么是圆的)

很多时候，当我们走在城市的街道上，低头看路的时候，会觉得为什么道路和非机动车道上有那么多圆形井盖。虽然这并没有影响太多的交通，但总觉得路上坑坑洼洼的不好看。那么眼尖的同志会问一个问题吗？为什么几乎所有的井盖都是大大小小的圆形，而其他形状的井盖却很少见？

带着棘手问题的微软

可能大家都知道，这样一个看似无厘头的问题，却是一个经典的面试题目。据说这个问题可以从各个方面来回答。有人说因为圆形井盖容易运输，而且边角不容易撞，这是对的。与三角形相比，圆确实有这个优势。有人说圆形井盖受力时，受力会均匀分散，不会聚集在某个位置，所以不容易造成边缘开裂。这也是事实。还有人从哲学的角度解释，圆形井盖用的比较多，因为井口本身是圆的，井盖是圆的也是自然的。

但是小冉军还是想从数学的角度来考虑这个问题。

圆形井盖

井盖是维持城市生活正常运转的重要设施。如果坏了或者被偷了，会对这个地区的人造成很大的影响，甚至会导致生命安全事故。防盗，金属现在已经不用了，真的没有太大的经济价值。即使井盖没有被盗，也不能直接从井口掉下来。是的，从数学上讲，大多数井盖都是圆形的，只是为了防止它们掉进井里。

井盖大多是圆形的。

让我们做一个实验。我们分别用正三角形和正方形作为井盖。试着翻过来看看能不能从井口掉下来。这里需要注意的是，其实井口会比井盖稍大一些，这样就保证了井盖在井口是可以倒圆的。但是这个大位与整个井盖的尺寸相比微不足道，所以在分析时可以忽略不计。

与井口井盖的结构关系

至于三角形的井盖，当你要把正三角形放入井口时，我们把井盖垂直放置，很快发现，如果你偏转一定角度，避免最长的井盖碰到井口，三角形的井盖很容易穿过井口，而不会碰到井口边缘的任何位置。我们可能一时半会儿不知道哪些长度决定我们能不能掉进井口，所以我们从各个角度去尝试。

三角形井盖不可行。

很快我们发现根本原因是正三角形的高度小于边长，也就是hc。所以每次我们总是可以转动直角，让它在对角线长度内落入井口。

正方形边长和对角线之间的关系

如果我们把它改成长方形呢？其实是一样的。因为毕达哥拉斯定理，如果长度适中，对角线会比其他任何一边都长。因此，矩形也可以落入井底，而完全不接触井盖的边缘。

这时，我们尝试了三角形和正方形。接下来，让我们看看规则的五边形。通过对前两种情况的分析，我们发现井盖能否掉入井口的根本原因是对角线与高度的长度关系。因此，我们不必再做任何实验来进行分析。我们画一个正五边形，通过理论计算出对角线与正五边形高度的关系。

五边形

正五边形的对角线与高度的关系

通过考察正五边形，我们可以从开头所列的方程中找到这个问题的本质。我们发现边的数量越多，对角线和高度就越接近。

当高度与对角线的长度差较大时，更容易掉入井口，因为下落过程中可以翻转的角度和空较多。当高度和对角线的长度逐渐接近时，就不那么容易实现下落过程中的转弯角度了。

延伸到无限多边形时，符合要求的井盖自然是圆的。

因此，我们很自然地推广了当边数无限大时，即圆是圆时，高度和对角线会越来越近，最后多边形的高度和对角线就无法区分了。所以，无论我们怎么转动圆形的井盖，圆圈总会牢牢地卡在井盖上，所以不会掉进去。

现在的问题是，难道只有圆形的井盖不会掉到井口下面吗？当然不是，圈子不是井盖能不能掉的根本原因。根本原因就在于那句话。

只要在翻转图形的过程中图形的宽度始终相同。

从任意角度观察圆时，图形所占的宽度都是一样的，导致在圆下落过程中，为了避免井口操作，翻转是无效的。我们称这个属性为等宽。只要能找到另一个满足等宽的图形，就能发明出新的“井盖”。

勒罗伊三角制图

勒罗伊三角滚动

你可能在某些场合见过下图。绘图方法也很简单。它是由三个半径相等的圆从对称中心以120度的间隔相交而成的弧三角形。这个三角形看起来又胖又傻，但它有不同寻常的属性。你用一对平行线在任意角度测量它的宽度，宽度是一样的。这个三角形叫做勒罗伊三角形，这个定义是以19世纪德国工程师弗朗兹·雷乌莱亚克斯的名字命名的。正是基于这个性质，勒罗伊三角形是井盖问题的经典答案。

德国工程师弗朗茨·勒洛

这个看似简单的胖三角是最简单的等宽曲线。想象一下这个神奇的属性。在一个平面下安装几个勒罗伊三角形作为轮子。如果你移动飞机，你不会感觉到飞机的丝毫波动。这时，一些学生又产生了疑问。既然勒罗伊三角形的随机移动宽度总是一样的，那它能不能当轮子用？答案几乎是不可能的。为什么呢？

在勒罗伊三角骑着有轮子的自行车

虽然说勒罗伊三角形的宽度在任何旋转条件下都不会改变，但它的旋转中心点是实时波动的。想象一下，如果你骑一辆以Leroy三角为轮子的自行车，前后轮轴承的位置就是旋转中心，这个中心总是忽高忽低，这样这辆车就可以骑了，但是感觉就像是在飞机上骑跷跷板，好像并不是特别的漂亮。然而，有些人从这个奇怪的脂肪三角形中获得了灵感，并创造了一项伟大的发明。

滚动勒罗伊三角形时，飞机根本不动。

德国人Figas Wankel注意到，当Leroy三角形在一条直线上翻转时，上下宽度总是相同的，旋转的中心是中间区域的一个小圆。如果采用勒罗伊三角形作为转子，在转子中间加入偏心轴，然后构造特定的腔体，就可以避免旋转过程中的中心波动问题，让转子继续旋转做功。

转子发动机的发明者

但是，勒罗伊三角有三个明显的角度，在实际加工过程中不容易实现，当转子高速旋转时，必然会带来更多的磨损，因此使用锐角是不可行的。于是汪克尔采用了变形的勒罗伊三角形，即让一个圆绕着原勒罗伊三角形的边滚动，用圆的最大边的轨迹重构一个改进的勒罗伊三角形。可以想象，如果这个外围圆的直径相对于勒罗伊三角形更大，最终的轨迹会更平滑。我们仍然可以证明这样的曲线是等宽的，所以用这样光滑的勒罗伊三角形作为发动机转子更合适。

转子模型

理论上是可行的，但在实际制造过程中，汪克尔仍需克服各种问题，才有可能将转子发动机变为现实。1927年，经过无数次试验，汪克尔基本解决了气密性、润滑性等一系列技术难题。1967年，日本东洋公司首次在汽车上安装转子发动机。后来，坚持研究几十年的马自达公司，让转子发动机大放异彩。1991年6月23日，马自达创造了历史。在当日举行的24小时勒芒耐力赛中，搭载转子发动机的马自达787B以领先第二名两圈的巨大优势夺得冠军！

创造历史的马自达神车787B

转子发动机虽然也有燃烧不充分、污染严重、油耗高的缺点，但与传统的活塞式发动机有很大的不同，其体积小，从发电就能产生惊人的动力。它的出现确实给人们追求动力带来了耳目一新的感觉，原来的发动机还能这样。

清扫车的外形也是Leroy三角。

为什么井盖基本都是圆的？这个问题真的可以有成千上万个答案，每个答案都能让人信服。从纯数学的角度，我们得出了这么多经典的结论，真是出乎人们的意料。在了解了井盖的原理后，我们发现了勒罗伊三角形，并从勒罗伊三角形的特点出发，提出了等宽曲线的概念，然后将勒罗伊三角形付诸实践，建造了一台旋转式发动机。

我相信井盖的科学将永远延续下去。

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