1. 鱼眼相机

鱼眼相机镜头是由十几个不同的透镜组合而成，在成像的过程中，入射光线经过不同程度的折射，投影到尺寸有限的成像平面上，使得鱼眼镜头拥有更大的视野范围。下图为鱼眼相机的组成结构：

与针孔相机原理不同，鱼眼镜头采用非相似成像，在成像过程中引入畸变，通过对直径空间的压缩，突破成像视角的局限，从而达到广角成像。

鱼眼相机是一种焦距小于等于16mm，且视角接近或者等于180°的极端广角镜头，但是正是因为他极端的短焦和广角，导致它因为光学原理而产生的畸变非常剧烈，所以针孔模型并不能很好的描述鱼眼相机，所以需要一种新的相机模型来对鱼眼相机进行近似模拟。

2. 相机畸变

鱼眼镜头无论如何它的边缘线条都是要弯曲的，即使90度的鱼眼也是这样，这种畸变我们在很多广角镜头上都可以看到，而这就是明显的桶形畸变。同样的120度的鱼眼看起来弯曲的更加厉害一些了，而且被容纳进范围的景物更多；150度同样如此，而180度的鱼眼则可以把镜头周围180度范围内的所有物体都拍摄进去。众所周知，焦距越短，视角越大，因光学原理产生的变形也就越强烈。为了达到180度的超大视角，鱼眼镜头不得不允许这种变形(桶形畸变)的合理存在。

针对原始图像进行畸变校正后，带有冗余边界，需要做进一步截取。如下图：

3. KannalaBrandt8模型

KB模型能够很好的适用于普通，广角以及鱼眼镜头。KB模型假设图像光心到投影点的距离和角度的多项式存在比例关系，角度的定义是点所在的投影光纤和主轴之间的夹角。

3.1. 投影过程

$KannalaBrandt8鱼眼相机模型-编程知识网$

其中

$KannalaBrandt8鱼眼相机模型-编程知识网$

3.2. 反投影过程

4. KannalaBrandt8算法在ORB-SLAM3的实现

4.1.投影

/*** @brief 投影* @param 3D点* @return 像素坐标* 注意：ORBSLAM3为投影重载了许多方法以接受各种不同的数据类型，在此就不一一列举了* 它们只是进行了数据类型之间的转换，然后统一以本方式实现，不再赘述**/
cv::Point2f KannalaBrandt8::project(const cv::Point3f &p3D)
{// r^2 = x^2 + y^2const float x2_plus_y2 = p3D.x * p3D.x + p3D.y * p3D.y;// θ = atan2(r,z) const float theta = atan2f(sqrtf(x2_plus_y2), p3D.z);const float psi = atan2f(p3D.y, p3D.x);// 计算θ的3，5，7，9次方// 计算2次方是为了方便计算3，5，7，9次 相当于中间变量const float theta2 = theta * theta;const float theta3 = theta * theta2;const float theta5 = theta3 * theta2;const float theta7 = theta5 * theta2;const float theta9 = theta7 * theta2;// mvParameters是存放相机参数和畸变系数的数组// [4] [5] [6] [7] 分别代表k1 k2 k3 k4// 是不是感觉很熟悉 其实KB模型也常被用于针孔的畸变模型// 计算获得d(θ)const float r = theta + mvParameters[4] * theta3 + mvParameters[5] * theta5 + mvParameters[6] * theta7 + mvParameters[7] * theta9;// 注意：注释的r和代码的r不是一个东西 代码r = 注释d(θ) 注释r = 代码x2_plus_y2 // [0] [1] [2] [3] 分别代表 fx fy cx cy// 利用公式 u = (fx * d(θ) * xc) / r // 		    v = (fy * d(θ) * yc) / r// cos(psi) = xc/r  sin(psi) = yc/r  return cv::Point2f(mvParameters[0] * r * cos(psi) + mvParameters[2],mvParameters[1] * r * sin(psi) + mvParameters[3]);
}

4.2. 反投影

/*** @brief 反投影过程* @param 像素坐标* @return 归一化坐标**/
cv::Point3f KannalaBrandt8::unproject(const cv::Point2f &p2D)
{//Use Newton method to solve for theta with good precision (err ~ e-6)// 使用Newton法来求解θ，获得了很好的效果// 获取归一化的x,y坐标// x = (u - cx) / fx// y = (v - cy) / fycv::Point2f pw((p2D.x - mvParameters[2]) / mvParameters[0], (p2D.y - mvParameters[3]) / mvParameters[1]);  // xd   yd// 设置尺度为1float scale = 1.f;// xd = θd/r * xc   yd = θd/r * yc// xd^2 + yd^2 = (θd^2 / r^2) * (xc^2 + yc^2)// xc^2 + yc^2 = r^2// θ = (xd^2 + yd^2)^(1/2)float theta_d = sqrtf(pw.x * pw.x + pw.y * pw.y);  // sin(psi) = yc / r//确保θd在[-π,π]的范围内 theta_d = fminf(fmaxf(-CV_PI / 2.f, theta_d), CV_PI / 2.f);  // 不能超过180度// 已知θd 求解 θif (theta_d > 1e-8){//Compensate distortion iterativelyfloat theta = theta_d;  // θ的初始值定为了θd// 开始迭代for (int j = 0; j < 10; j++){float theta2 = theta * theta, theta4 = theta2 * theta2,theta6 = theta4 * theta2,theta8 = theta4 * theta4;float k0_theta2 = mvParameters[4] * theta2,k1_theta4 = mvParameters[5] * theta4;float k2_theta6 = mvParameters[6] * theta6,k3_theta8 = mvParameters[7] * theta8;// f(θ) = θ + k1 * θ^3 + k2 * θ^5 + k3 * θ^7 + k4 * θ^9// e(θ) = f(θ) - θd// 直接求解θ很难 所以通过求导优化的方法// 目标是优化获得e(θ) = 0对应的θ// e(θ)' = 1 + 3 * k1 * θ^2 + 5 * k2 * θ^4 + 7 * k3 * θ^6 + 9 * k4 * θ^8// δ(θ) = e(θ) / e(θ)' 修正量float theta_fix = (theta * (1 + k0_theta2 + k1_theta4 + k2_theta6 + k3_theta8) - theta_d) /(1 + 3 * k0_theta2 + 5 * k1_theta4 + 7 * k2_theta6 + 9 * k3_theta8);// 进行修正theta = theta - theta_fix;// 如果更新量变得很小，表示接近最终值if (fabsf(theta_fix) < precision) break;}//scale = theta - theta_d;// 求得tan(θ) / θdscale = std::tan(theta) / theta_d;}// 获取归一化坐标return cv::Point3f(pw.x * scale, pw.y * scale, 1.f);
}

4.3. 求解雅各比矩阵

/*** @breif 求解像素坐标关于三维点的雅各比矩阵* @param p3D 三维点* @return 雅各比矩阵[一个两行三列的矩阵] **/cv::Mat KannalaBrandt8::projectJac(const cv::Point3f &p3D)
{float x2 = p3D.x * p3D.x, y2 = p3D.y * p3D.y, z2 = p3D.z * p3D.z;float r2 = x2 + y2;float r = sqrt(r2);float r3 = r2 * r;float theta = atan2(r, p3D.z);float theta2 = theta * theta, theta3 = theta2 * theta;float theta4 = theta2 * theta2, theta5 = theta4 * theta;float theta6 = theta2 * theta4, theta7 = theta6 * theta;float theta8 = theta4 * theta4, theta9 = theta8 * theta;float f = theta + theta3 * mvParameters[4] + theta5 * mvParameters[5] + theta7 * mvParameters[6] +theta9 * mvParameters[7];float fd = 1 + 3 * mvParameters[4] * theta2 + 5 * mvParameters[5] * theta4 + 7 * mvParameters[6] * theta6 +9 * mvParameters[7] * theta8;// u = (fx * θd * x) / r + cx// v = (fy * θd * y) / r + cy// θd = θ + k1 * θ^3 + k2 * θ^5 + k3 * θ^7 + k4 * θ^9// θ = arctan(r,z)// r = (x^2 + y^2)^(1/2)cv::Mat Jac(2, 3, CV_32F);Jac.at<float>(0, 0) = mvParameters[0] * (fd * p3D.z * x2 / (r2 * (r2 + z2)) + f * y2 / r3);  // ∂u/∂xJac.at<float>(1, 0) =mvParameters[1] * (fd * p3D.z * p3D.y * p3D.x / (r2 * (r2 + z2)) - f * p3D.y * p3D.x / r3);  // ∂v/∂xJac.at<float>(0, 1) =mvParameters[0] * (fd * p3D.z * p3D.y * p3D.x / (r2 * (r2 + z2)) - f * p3D.y * p3D.x / r3);  // ∂u/∂yJac.at<float>(1, 1) = mvParameters[1] * (fd * p3D.z * y2 / (r2 * (r2 + z2)) + f * x2 / r3);  // ∂v/∂yJac.at<float>(0, 2) = -mvParameters[0] * fd * p3D.x / (r2 + z2);  // ∂u/∂zJac.at<float>(1, 2) = -mvParameters[1] * fd * p3D.y / (r2 + z2);  // ∂v/∂zstd::cout << "CV JAC: " << Jac << std::endl;return Jac.clone();
}