问题：

如果给出两个很大很大的整数，这两个数大到long类型也装不下，比如100位整数，如何求它们的和呢？

分析：

回顾起小学数学，当我们需要计算两个较大数目的加减乘除，我们是用列竖式的方式来计算的。

因为对于较大的整数，我们无法一步就直接计算出结果，所以不得不把计算过程拆分成一个一个小步骤来完成。

不仅仅是人脑，对于计算机来说也可以这样解决。程序不可能通过一条指令计算出两个大整数之和，却可以像列竖式一样将运算拆解成若干小运算。

可是，如果大整数超出了long型的范围，该如何存储这个数呢？
我们想到了数组，可以用数组的每一个元素存储整数的每一个数位。

在程序中列出的 “竖式” 究竟是什么样子呢？我们以 426709752318 + 95481253129 为例，来看看大整数相加的详细步骤：

1. 第一步，把整数倒序存储，整数的个位存于数组0下标位置，最高位存于数组长度-1下标位置。之所以倒序存储，更加符合我们从左到右访问数组的习惯。
   

2. 第二步，创建结果数组，结果数组的最大长度是较大整数的位数+1，原因是可以存储进位。
   

3. 第三步，遍历两个数组，从左到右按照对应下标把元素两两相加，结果存储在结果数组对应下标的位置上，进位存储在下一个位置，就像小学生计算竖式一样。

例子中，最先相加的是数组A的第1个元素8和数组B的第1个元素9，结果是7，进位1。把7填充到Result数组的对应下标，进位的1填充到下一个位置：

第二组相加的是数组A的第2个元素1和数组B的第2个元素2，结果是3，再加上刚才的进位1，把4填充到Result数组的对应下标：

依此类推…一直把数组的所有元素都相加完毕：

5. 第四步，把结果数组的全部元素再次逆序，去掉首位的，就是最终结果。
   

代码如下：

    /**
     * 大整数求和
     * @param bigNumberA  大整数A
     * @param bigNumberB  大整数B
     */

    public static String bigNumberSum(String bigNumberA, String bigNumberB) {

        //1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1

        int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();

        int[] arrayA = new int[maxLength+1];
        for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){
            arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';//“ - '0'”是将String型转化为int型
        }

        int[] arrayB = new int[maxLength+1];
        for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){
            arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';
        }

        //2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1
        int[] result = new int[maxLength+1];

        //3.遍历数组，按位相加
        for(int i=0; i<result.length; i++){
            int temp = result[i];				//加上前一位的进位
            temp += arrayA[i];
            temp += arrayB[i];
            
            //判断是否进位
            if(temp >= 10){
                temp = temp-10;				//有进位的话将temp化为一位数
                result[i+1] = 1;					//将进位1存储到结果数组的下一位
            }

            result[i] = temp;					//将1位数存储到结果数组对应位

        }

        //4.把result数组再次逆序并转成String
        StringBuilder sb = new StringBuilder();

        //用于标记是否找到大整数的最高有效位
        boolean findFirst = false;

        for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {//从后往前
            if(!findFirst){
                if(result[i] == 0){				//用于跳过结果数组末尾的0
                    continue;
                }
                findFirst = true;
            }
            sb.append(result[i]);
        }

        return sb.toString();

    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(bigNumberSum("426709752318", "95481253129"));
    }

时间复杂度：

那么，这个算法的时间复杂的是多少呢？
如果给定大整数的最长位数是n，那么创建数组、按位计算、结果逆序的时间复杂度各自是O(n)，整体的时间复杂度也是O(n)。

优化：

其实这个算法还存在可以优化的地方。如何优化呢？

我们之前是把大整数按照每一个十进制数位来拆分，比如较大整数的长度有50位，那么我们需要创建一个51位的数组，数组的每个元素存储其中一位。

我们真的有必要把原整数拆分得那么细吗？
显然不需要，只需要拆分到可以被直接计算的程度就够了。

int类型的取值范围是 -2147483648——2147483647，最多有10位整数。为了防止溢出，我们可以把大整数的每9位作为数组的一个元素，进行加法运算。如此一来，占用空间和运算次数，都被压缩了9倍。

本文来源于公众号程序员小灰，有删改。