定义

2D单应性变换定义为从一个平面到另一个平面的投影映射, 单应矩阵形式如下:

[H= egin{bmatrix} h_{00} & h_{01} & h_{02} \ h_{10} & h_{11} & h_{12} \ h_{20} & h_{21} & h_{22} end{bmatrix}
]

坐标 ((x, y)) 通过单应性变换映射到 ((u, v)), 使用齐次坐标即为 ((x, y, 1)), ((u, v, 1)), 具有如下变换 (f{x’=Hx})

[segin{bmatrix}u\v\1end{bmatrix}
= egin{bmatrix} h_{00} & h_{01} & h_{02} \ h_{10} & h_{11} & h_{12} \ h_{20} & h_{21} & h_{22} end{bmatrix}egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix}
]

计算单应变换H需要多少对应点?

一方面矩阵H有9个参数, 但只确定到相差一个尺度因子s, 不妨约束 (|H|) = 1, 来避免h=0的解. 因此2D摄影变换的自由度是8,需要4个点对(任意3点不共线, 线性不相关)

直接线性变换(DLT)解法

齐次解

给予4个点对, 求齐次解

[egin{equation} left{ egin{aligned} su&=h_{00}x + h_{01}y + h_{02}\ sv&=h_{10}x + h_{11}y + h_{12}\ s&=h_{20}x + h_{21}y + h_{22} \ end{aligned} ight. end{equation}
]

[egin{equation} label{eq2} egin{bmatrix} -x & -y &-1&0&0&0&xx_1&yx_1&x_1 \ 0&0&0& -x & -y &-1&xy_1&yy_1&y_1 \ end{bmatrix} egin{bmatrix}h_{00}\h_{01}\h_{02}\h_{10}\h_{11}\h_{12}\h_{20}\h_{21}end{bmatrix}=0 end{equation} \
Ah = 0
]

矩阵 (A in f R^{8 imes9}), 最大可能秩为8, 那么齐次方程组有一个1维零空间, h的这样一个解只能在相差一个非零尺度因子下确定

超定解

如果给出的点对超过4, 矩阵 (A in f R^{m imes9, space m>8})

如果点的位置精确的话, A的秩依然是8. 解法参上
如果图像测量点位置存在误差, 我们试图寻找一个近似解, 解为A的右奇异矩阵最小奇异值对应的特征向量, 解法详解

非齐次解

给予4个点对, 既然允许解相差任意一个尺度因子, 自然可以选择尺度因子值使得 (h_j=1), 不妨设 (h_{22}=1),

[H= egin{bmatrix} h_{00} & h_{01} & h_{02} \ h_{10} & h_{11} & h_{12} \ h_{20} & h_{21} & 1 end{bmatrix}
]

即

[segin{bmatrix}u\v\1end{bmatrix}
= egin{bmatrix} h_{00} & h_{01} & h_{02} \ h_{10} & h_{11} & h_{12} \ h_{20} & h_{21} & 1 end{bmatrix}egin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix}
]

线性方程组如下:

[egin{equation} left{ egin{aligned} su&=h_{00}x + h_{01}y + h_{02}\ sv&=h_{10}x + h_{11}y + h_{12}\ s&=h_{20}x + h_{21}y + 1 \ end{aligned} ight. end{equation}
]

化简可得

[egin{equation}
egin{bmatrix}x & y &1&0&0&0&-xu&-yu \ 0&0&0& x & y &1&-xv&-yv \ end{bmatrix} egin{bmatrix}h_{00}\h_{01}\h_{02}\h_{h10}\h_{11}\h_{12}\h_{20}\h_{21}end{bmatrix} = egin{bmatrix}u\vend{bmatrix} end{equation} \
Ah = b\
h = A^{-1}b
]

但是, 如果事实上真正解 (h_j=0), 那么不存在 (kh_j=1), 意味着令 (h_j=1) 得不到真正的解, 那么如果被选的(h_j)真正解接近于0, 该方法将导致不稳定解.